Quay lại đáp án

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$Xét $\frac{a}{\sqrt{b+c}} + \frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$\Leftrightarrow$ $\frac{\sqrt{2a}}{\sqrt{b+c}} + \frac{\sqrt{2b}}{\sqrt{c+a}} + \frac{\sqrt{2c}}{\sqrt{a+b}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $$\Leftrightarrow$ $\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{2(a+b)}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$Xét: $A=\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{a+b}}$:$\frac{A}{4}=\frac{a}{2\sqrt{2(b+c})}+\frac{b}{2\sqrt{2(c+a)}}+\frac{c}{2\sqrt{2(a+b)}}$ $\geq$ $\frac{a}{b+c+2} + \frac{b}{c+a+2} + \frac{c}{a+b+2}$$ \frac{A}{4} + 3 \geq (a+b+c+2)[\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+a+2}+\frac{1}{a+b+2}]$Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki ta có:$\frac{1}{b+c+2} + \frac{1}{c+a+2} + \frac{1}{a+b+2} \geq \frac{(1+1+1)^2}{2a+2b+2c+2+2+2}=\frac{3}{4}$Nên,$\frac{A}{4} \geq \frac{5.3}{4} - 3 = \frac{3}{4} $$\Leftrightarrow A \geq 3 $ (1)Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki:$(a+b+c)(1+1+1)=9 \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2$$ \Leftrightarrow\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq 3$(2)Từ (1) và (2) có thể suy ra bất đẳng thức luôn đúngDấu bằng xảy ra$\Leftrightarrowa=b=c$

Không mất tính tổng quát, ta chuẩn hóa $a+b+c=3$Xét $\frac{a}{\sqrt{b+c}} + \frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}} \geq \frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})$$\Leftrightarrow$ $\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{b+c}} + \frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{c+a}} + \frac{\sqrt{2}c}{\sqrt{a+b}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} $$\Leftrightarrow$ $\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{2(a+b)}} \geq \sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}$Xét: $A=\frac{2a}{\sqrt{2(b+c)}} + \frac{2b}{\sqrt{2(c+a)}} + \frac{2c}{\sqrt{a+b}}$:$\frac{A}{4}=\frac{a}{2\sqrt{2(b+c})}+\frac{b}{2\sqrt{2(c+a)}}+\frac{c}{2\sqrt{2(a+b)}}$ $\geq$ $\frac{a}{b+c+2} + \frac{b}{c+a+2} + \frac{c}{a+b+2}$$ \frac{A}{4} + 3 \geq (a+b+c+2)[\frac{1}{b+c+2}+\frac{1}{c+a+2}+\frac{1}{a+b+2}]$Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki ta có:$\frac{1}{b+c+2} + \frac{1}{c+a+2} + \frac{1}{a+b+2} \geq \frac{(1+1+1)^2}{2a+2b+2c+2+2+2}=\frac{3}{4}$Nên,$\frac{A}{4} \geq \frac{5.3}{4} - 3 = \frac{3}{4} $$\Leftrightarrow A \geq 3 $ (1)Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-Copxki:$(a+b+c)(1+1+1)=9 \geq (\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c})^2$$ \Leftrightarrow\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} \leq 3$(2)Từ (1) và (2) có thể suy ra bất đẳng thức luôn đúngDấu bằng xảy ra$\Leftrightarrowa=b=c$