Dễ thấy nếu nhóm $(1)$ chứa $(1,2,5), nhóm (2)$ chứa (3,4) thì đề bài sai.
Giả sử tồn tại trường hợp mà không có số nào th
ỏa mãn với y
êu cầu đề bài.Ta có:-Số 5 chắc chắn
không là hiệu
của 2 số nào cả. (1)-Số 4 không thể ở nhóm
có $1
và 5 cùng tồn tại. (2)$
-Số 3 không thể ở nhóm c
ó 1 và 4, 2 và 5 cùng tồn tại. (3)-Số 2 kh
ông thể ở nhóm có số 4, 1 và 3, 3 và 5 cùng tồn tại. $(
4)-Số 1
không thể ở nhóm có số 2
$,
3 và 4, 4 và 5 cùng tồn tại. $(5)$
Không làm mất tính tổng quát,
ta gọi 2 nhóm
là I và II với 5 được xếp vào nhóm I (vì (1))-Nếu thêm 1 vào nhóm I\Rightarrow Chỉ có thể thêm tiếp 3 vào nhóm I . (vì (2) và (5)) \Rightarrow Nhóm II buộc
ph
ải có 2,4 (loại vì (4)) -Nếu thêm 2 vào nhóm $I\Righta
rrow Không thêm được số nào vào nhóm I$. (vì $(3
),
(4)$
và (5))$\Right
arrow $ Nh
óm II có 1,3,4 (loại vì
(3)).-Nếu thêm 3 vào nhóm I\Rightarrow Chỉ có thể thêm tiếp 1 hoặc 4 vào nhóm I. (vì (3)) +Nếu thêm 4\Rightarrow nhóm II buộc phải có 1,2 (loại vì (5)) +Nếu không thêm 4\Rightarrow nhóm II buộc phải có 2,4 (loại vì (4)) -Nếu thêm 4 vào nhóm I\Rightarrow Chỉ có thể thêm tiếp 3 (vì (4) và (2))\Rightarrow Nhóm II b
uộc phải có 1,2 (loại vì (5)).-Nếu không thêm số nà
o $\Ri
ghtarrow Nhóm II có 1,2,3,4 (loại vì (5))Vậy không có trường hợp nào thỏa mãn \Rightarrow $ Giả sử sai
\Rightarrow Ta có ĐPCM.