Vì $0<\alpha<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin \alpha>0, \cos \alpha>0 $a) Ta có: $(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha $$\Rightarrow (\sin \alpha+\cos \alpha)^2=1+2 \sin \alpha \cos \alpha $ Vì $\sin \alpha>0, \cos \alpha>0 \Rightarrow 2 \sin \alpha \cos \alpha >0$ suy ra: $1+2 \sin \alpha \cos \alpha >0 \Rightarrow (\sin \alpha+\cos \alpha)^2>1 \Rightarrow \sin \alpha+\cos \alpha >1 $b) Vì $0< \alpha < \frac{\pi}{2} $ nên $\sin \alpha >0, \cos \alpha >0 $Giả sử ngược lại ta có: $\tan \alpha < \sin \alpha \Rightarrow \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}< \sin \alpha $Vì $\sin \alpha > 0 \Rightarrow \frac{1}{ \cos \alpha } <1 $; vì $\cos \alpha >0 \Rightarrow \cos \alpha >1$Điều này vô lý vì ta biết $|\cos \alpha | \leq 1$. Vậy ta phải có $\tan \alpha > \sin \alpha $ (đpcm).
Vì $0<\alpha<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin \alpha>0, \cos \alpha>0 $a) Ta có: $(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha $$\Rightarrow (\sin \alpha+\cos \alpha)^2=1+2 \sin \alpha \cos \alpha $ Vì $\sin \alpha>0, \cos \alpha>0 \Rightarrow 2 \sin \alpha \cos \alpha >0$ suy ra: $1+2 \sin \alpha \cos \alpha >0 \Rightarrow (\sin \alpha+\cos \alpha)^2>1 \Rightarrow \sin \alpha+\cos \alpha >1 $b) Vì $0< \alpha < \frac{\pi}{2} $ nên $\sin \alpha >0, \cos \alpha >0 $Giả sử ta có: $\tan \alpha < \sin \alpha \Rightarrow \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}< \sin \alpha $Vì $\sin \alpha > 0 \Rightarrow \frac{1}{ \cos \alpha } <1 $; vì $\cos \alpha >0 \Rightarrow \cos \alpha >1$Điều này vô lý vì ta biết $|\cos \alpha | \leq 1$. Vậy ta phải có $\tan \alpha > \sin \alpha $. Có đpcm.
Vì $0<\alpha<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin \alpha>0, \cos \alpha>0 $a) Ta có: $(\sin \alpha+\cos \alpha)^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2 \sin \alpha \cos \alpha $$\Rightarrow (\sin \alpha+\cos \alpha)^2=1+2 \sin \alpha \cos \alpha $ Vì $\sin \alpha>0, \cos \alpha>0 \Rightarrow 2 \sin \alpha \cos \alpha >0$ suy ra: $1+2 \sin \alpha \cos \alpha >0 \Rightarrow (\sin \alpha+\cos \alpha)^2>1 \Rightarrow \sin \alpha+\cos \alpha >1 $b) Vì $0< \alpha < \frac{\pi}{2} $ nên $\sin \alpha >0, \cos \alpha >0 $Giả sử
ngược lại ta có: $\tan \alpha < \sin \alpha \Rightarrow \frac{ \sin \alpha}{ \cos \alpha}< \sin \alpha $Vì $\sin \alpha > 0 \Rightarrow \frac{1}{ \cos \alpha } <1 $; vì $\cos \alpha >0 \Rightarrow \cos \alpha >1$Điều này vô lý vì ta biết $|\cos \alpha | \leq 1$. Vậy ta phải có $\tan \alpha > \sin \alpha $
(đpcm
).