Giải:  $\sqrt{3}\tan^{2}x+2\tan x=\sqrt{3}-4\sin x \tan x-4\sqrt{3}\sin x$

Giải: $\frac{\sqrt{2}.(2-tanx)}{sin(5x-\frac{\pi }{4})}=\frac{1+tanx}{sinx}$

Giải các bất phương trình :
$\begin{array}{l}
1)\,\,\,\,\,{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{\log _{\frac{1}{2}}^2x}} \le {x^3}\\
2)\,\,\,\,{5^{{{\log }_{\frac{1}{2}}}{{\log }_2}\displaystyle\left( {{3^{2{{\log }_3}x - 3x + {{\log }_3}9}}} \right)}} < 1
\end{array}$

Giải các bất  phương trình :
$\begin{array}{l}
1)\,\,\,{\log _x}\sqrt {20 - x}  > 1\\
2)\,\,{\log _5}\left( {x + 5} \right) + 2{\log _5}\sqrt {1 - 3x}  > 1\\
3)\,\,2{\log _{\frac{1}{2}}}x < 1 - {\log _{\frac{1}{2}}}x
\end{array}$

Giải các bất phương trình sau :

1) ${x^{{{\log }_2}x}} < 32$
2) ${x^{\frac{1}{{\log x}}}} > 10{x^4}$

Giải các phương trình :

1)  $2\log \left( {x + \frac{1}{2}} \right) - \log \left( {x - 1} \right) = \log \left( {x + \frac{5}{2}}
\right) + \log 2$
2)  $\log \left( {x + \frac{4}{3}} \right) - \log \left( {x - \frac{1}{3}} \right) = \frac{1}{2}\log \left( {x
+ 6} \right) - \frac{1}{2}\log x$

giải hệ phương trình $\begin{cases}x^3-xy^2+2000y=0 \\ y^3-yx^2-500x=0  \end{cases}$

Cho số thực $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2 +b^2 +c^2 =1$
chứng minh:  $\sqrt{1-ab}+\sqrt{1-ac}+\sqrt{1-bc}\geq  \sqrt{6}    $

giải hệ phương trình $\begin{cases}\sqrt{1+x}+\sqrt{-y+6} =\sqrt{14}   \\ \sqrt{1+y}+\sqrt{-x+6}=\sqrt{14}    \end{cases}$

Giải phương trình $(x+3).\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12 $

chứng minh rằng nếu $f(x)$ là hàm số liên tục và dương trên $[a, b]$ và không là hàm hằng thì ta có:
$\int\limits_{a}^{b} f(x)dx.\int\limits_{a}^{b}\frac{dx}{f(x)}>(b-a)^2$

Cho hai đường thẳng $Ax$ và $By$ cùng vuông góc với $AB,M$ và $N$ là hai giao điểm trên đường thẳng $AB$ sao cho $\overrightarrow {AM}=\overrightarrow {NB}$.
Trên $Ax$ lấy điểm $P$, trên $By$ lấy điểm $Q$ sao cho $M$ nhìn đoạn $PQ$ dưới một góc vuông.
Chứng minh rằng điểm $N$ cũng nhìn đoạn $PQ$ dưới một góc vuông.

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh $h_ah_bh_c=8R^3\sin^2A\sin^2B\sin^2C$

Cho hình chóp $S.ABC$. Gọi $I$ là trung điểm của $SB$.     $J$ là 1điểm trên $SC$ với $JS=2JC$ và $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
a. Xác định thiết diện hình chóp với mp $(OIJ)$. Gọi s là diện tích thiết diện đó.
b. $(P)$ là mặt phẳng của $M$ trên nửa đường thẳng $BC$ và $(P)$ song song hoặc trùng với mặt phẳng $(OIJ)$. Đặt $\frac{BM}{BC} = x (x>0)$. Định x để $(P)$ cắt hình chóp.
c. Biện luận theo $x$ các dạng thiết diện của hình chóp với mp (P).
d. Gọi $H(x)$ là diện tích thiết diện ở câu c. Tính $H(x)$ theo $s$ và $x$.