Do $a,b,c$ có vai trò như nhauneen không mất tính tổng quát,giải sử a=max{a,b,c}
từ đó ta có
$\frac{b}{c+a+1}\leq \frac{b}{c+b+1}$
$\frac{c}{a+b+1}\leq \frac{c}{c+b+1}$
Mặt Khác Áp Dụng BĐT AM-GM ra có
$\frac{\left ( 1+b+c \right )+\left ( 1-b \right )+\left ( 1-c \right )}{3}\geq \sqrt[3]{\left ( 1+b+c \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )}$
$\Rightarrow 1\geq \left ( 1+b+c \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\Rightarrow \left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )\left ( 1-c \right )\leq \frac{1-a}{b+c+1}$
$\Rightarrow VT\leq \frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{b+c+1}+\frac{1-a}{b+c+1}=1 \Rightarrow đpcm$
dấu đẳng thức xẩy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ hoặc $a=1,b=c=0$ và các hoán vị tương ứng