|
|
đặt câu hỏi
|
Tìm Min
|
|
|
|
cho $a,b,c$ là các số thức dương và $a+b+c=3$ Tìm Min của $T=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}-2(ab+bc)-c(2-3a)$
|
|
|
|
giải đáp
|
bđt
|
|
|
|
ta chứng mình bổ đề $x^5+y^5\geq x^2y^2(x+y)$
ápduụng BĐT AM-GM ta có $x^5+y^5=\frac{3x^5+2y^5}{5}+\frac{3y^5+2x^5}{5}\geq x^3y^2+y^3x^2=x^2y^2(x+y)$
$\Rightarrow \frac{xy}{x^5+y^5+xy}\leq \frac{xy}{xy[1+xy(x+y)]}=\frac{xyz^2}{xyz[z+xyz(x+y)]}=\frac{z}{x+y+z}$
với cách làm tương tự ta có đpcm
|
|
|
|
giải đáp
|
bbđt
|
|
|
|
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có
$a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{(a^2+b^2)(a+b+2)}=\sqrt{a+b+2}$
mà $(a+b)\leq \sqrt{2(a^2+b^2)}=\sqrt{2}$
$\Rightarrow a\sqrt{b+1}+b\sqrt{a+1}\leq \sqrt{2+\sqrt{2}}$
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT lớp 10
|
|
|
|
cách 2
$96=16(x^2+xy+y^2)+3(y^2+yz+z^2)=16\left ( y+\frac{x}{2} \right )^2+\frac{9z^2}{4}+3\left ( y+\frac{z}{2} \right )^2+12x^2=(4y+2x-\frac{3z}{2})^2+3(y+\frac{z}{2}-2x)^2+12(xy+yz+zx)\geq 12(xy+yz+zx) \Rightarrow xy+yz+zx\leq \frac{96}{12}=8$
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT lớp 10
|
|
|
|
cách 1
Đặt vectơ a có tọa độ ( y + x/2; √3x/2 ); vectơ b có tọa độ ( √3z/2; y + z/2 )
Tích vô hướng của 2 vectơ là
a.b = √3zy/2 + √3xz/4 + √3xy/2 + √3xz/4 = √3/2( zy + xz/2 + xy + xz/2 ) = √3/2( xy + zx + yz )
Độ dài các vectơ là
| a | = √( y² + xy + x²/4 + 3x²/4 ) = √( x² + xy + y² ) = √3
| b | = √( 3z²/4 + y² + xz + z²/4 ) = √( z² + yz + y² ) = √16
Áp dụng tính chất tích vô hướng của 2 vectơ ta có | a.b | ≤ | a |.| b |
=> √3/2( xy + zx + yz ) ≤ √3.√16
=> xy + xz + yz ≤ 8
|
|
|
|
giải đáp
|
BĐT lớp 10
|
|
|
|
$VT=\frac{\frac{1}{a^2}}{ab+ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{ba+bc}+\frac{\frac{1}{c^2}}{ca+cb}\geq \frac{\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )^2}{2(ab+bc+ca)}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{2(ab+bc+ca)}= \frac{ab+bc+ca}{2} \geq \frac{3\sqrt[3]{(abc)^2}}{2}=\frac{3}{2}$
dấu$"="\Leftrightarrow a=b=c=1$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Chứng Minh BĐT
|
|
|
|
cho các số $a,b,c\geqslant 0$ chứng minh rằng $(a+b)^c+(b+c)^a+(c+a)^b\geq 2$ |
|
|
|
giải đáp
|
Đánh Giá Cơ Bản
|
|
|
|
$*$ ta chứng mình BĐT $a^2+b^2+c^2\geqslant ab+bc+ca \Leftrightarrow \frac{(a-b)^2}{2}+\frac{(b-c)^2}{2}+\frac{(c-a)^2}{2}\geqslant 0$ áp dụng $\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geqslant a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\geqslant ab^2c+bc^2a+ca^2b=abc(a+b+c)$$(đpcm)$ |
|
|
|
giải đáp
|
Đánh Giá Cơ Bản
|
|
|
|
$*$ ta có $\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+c}\Leftrightarrow a(b+c)<b(a+c)\Leftrightarrow ab+ac<ab+bc\Leftrightarrow ac<bc\Leftrightarrow a<b$ vì $c>0$ luôn đúng do $\frac{a}{b}<1$
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
Chứng Minh BĐT
|
|
|
|
$\sqrt[3]{sinA}+\sqrt[3]{sinB}+\sqrt[3]{sinC}\leq \sqrt[3]{cos\frac{A}{2}}+\sqrt[3]{sos\frac{B}{2}}+\sqrt[3]{cos\frac{C}{2}}$ với ABC là một tam gác |
|
|
|
giải đáp
|
giỏi thì nhào vô ( nhưng hình như dễ)
|
|
|
|
ta có $\sqrt{a+4}+\sqrt{b+4}\geq \sqrt{a+b+4}+2$$(1)$ (cm = bình phương 2 vế) mà $x^2+y^2=1\Rightarrow 0\leq x,y\leq 1 \Rightarrow x+y\geq x^2+y^2=1$$(2)$ áp dụng lần lượt $(1)$ và $(2)$ ta được $\sqrt{5x+4}+\sqrt{5y+4}\geq \sqrt{5(x+y)+4}+2\geq \sqrt{5(x^2+y^2)+4}+2=5$ dấu ''='' $\Leftrightarrow x=0 |y=1 $ hoặc $x=1|y=0$ |
|
|
|
|
|
giải đáp
|
giải hệ
|
|
|
|
pt (1) $\Leftrightarrow xy+x+y+y^2-(x^2-y^2)=0$ $\Leftrightarrow x(y+1)+y(y+1)-(x-y)(x+y)=0 $ $\Leftrightarrow (y+1)(x+y)-(x+y)(x-y)=0$ $\Leftrightarrow (x+y)(2y-x+1)=0$ $\Leftrightarrow x=-y$(loại vì $x\geq 1 ; -y\leq 0)$ hoặc $ x=2y+1$ thế $x=2y+1$ vào pt(2) được $(x;y)=(5;2)$
|
|
|
|
giải đáp
|
Giúp em vs ạ
|
|
|
|
ta dễ dàng chứng minh được $\sqrt{x^2+xy+y^2} \geq \frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)$ $TH1 x+y<0 =>$ BĐT luôn đúng $TH2x+y\geq 0=>$ Bình phương 2 vế $ \Leftrightarrow x^2+xy+y^2\geq \frac34(x^2+2xy+y^2)$ $\Leftrightarrow 4x^2+4xy+4y^2\geq 3x^2+6xy+3y^2$ $\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2$ $ \Leftrightarrow (x-y)^2 \geqslant 0 $ $ \Rightarrow M \geq \frac{\sqrt{3}.2(x+y+z)}{2}=\sqrt{3}$ dấu $=$ xẩy ra $\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$ |
|
|
|
giải đáp
|
HPT
|
|
|
|
Câu hệ đại học năm 2014
Giải hệ $\begin{cases} x\sqrt{12-y} +\sqrt{y(12-x^2)} =12 \\ x^3-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{cases}$
Từ (1) ta có $12y -x^2y = 144 +12x^2 -x^2 y -24x\sqrt{12-y}$
$\Leftrightarrow x^2 -2x\sqrt{12-y} +12-y =0$
$\Leftrightarrow (x-\sqrt{12-y})^2=0 \Rightarrow x=\sqrt{12-y};\ x\ge 0;\ \Rightarrow y=12-x^2$ thế vào 2
$x^3-8x-1=2\sqrt{12-x^2 -2}$
$\Leftrightarrow x^3 -8x -1 =2\sqrt{10-x^2}$
$\Leftrightarrow (x-3) \bigg (x^2 +3x +1 + \dfrac{2x+3}{1+\sqrt{10-x^2}} \bigg )=0$ vế sau vô nghiệm với $x\ge 0$
Vậy nghiệm của hệ $(x;\ y) = (3;\ 3)$
nguồn http://toan.hoctainha.vn/Hoi-Dap/Cau-Hoi/126024/he-dh-nam-2014
vote and vote
|
|