Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x_1+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$

Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x_1+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \left(\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$

Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$

Gọi $x_1, x_2, x_3$ là ba nghiệm của phương trình đã cho:Nếu dùng định lý viet bậc 3 thì ra ngay, tuy nhiên có thể ko được dùng định lý vietta có $(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=x^3-x^2+3ax-b$Nên dễ dàng ta có$x_1+x_2+x_3 =1$$x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 =3a$$x_1x_2x_3 =b$vì a,b là các số dương, nên xảy ra 2 trường hợp+) hai trong 3 nghiệm là số âm, nên không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x_1, x_2$ là số âm --> $x_3\geq 1$$3a = x_1x_2 + x_2x_3+x_3x_1 = x_2(x_1+x_3) + x_1x_3 <0 $vì $x_3+x_1+1 >0, x_2<0 , x_1x_3<0$ Do đó không thể tồn tại trường hợp 2 trong 3 nghiệm là âm+) cả 3 nghiệm dươngTừ biểu thức$\frac{a^3}{b^3}+27b = \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}{3x_1x_2x_3}+27x_1x_2x_3$=$\frac{1}{27}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$=$\frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+\frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$= $A + B$Trong đó $A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3$$B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Ta xét$A = \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$Theo bất đẳng thức bunhia$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2\left(\frac{1}{\sqrt{x_1}}\sqrt{x_1}+\frac{1}{\sqrt{x_2}}\sqrt{x_2}+\frac{1}{\sqrt{x_3}}\sqrt{x_3}\right)^2$$A\geq \frac{26}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2 (1+1+1)^2$$A\geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^2$ lại áp dụng Bunhia $A \geq \frac{26*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A\geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)$áp dụng bunhia một lần nữa$A \geq \frac{26*9*9}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)(x_1+x_2+x_3)$$A \geq \frac{26*9*9*9}{27^2} =26$dấu bằng xảy ra trong A khi $\frac{\frac{1}{\sqrt{x_1}}}{\sqrt{x_1}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_2}}}{\sqrt{x_2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{x_3}}}{\sqrt{x_3}}$ hay $x_1= x_2 = x_3$Xét $B = \frac{1}{27^2}\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)^3+27x_1x_2x_3$Áp dụng bất đẳng thức cauchy$B\geq \frac{1}{27^2}\left(3\sqrt[3]{\frac{1}{x_1x_2x_3}}\right)^3 + 27x_1x_2x_3$$B\geq \frac{1}{27}x_1x_2x_3 + 27x_1X_2X_3$áp dụng cauchy một lần nữa$B\geq 2\sqrt{\frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3}27x_1x_2x_3}= 2$Dấu bằng xảy ra khi $x_1=x_2=x_3$ và $27x_1x_2x_3 = \frac{1}{27}\frac{1}{x_1x_2x_3} $dễ thấy $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$Vậy $\frac{a^3}{b^3}+27b =A+B \geq 26+2 =28$dấu bằng xảy ra khi $x_1 = x_2 = x_3 = \frac{1}{3}$hay $a=\frac{1}{3}, b = \frac{1}{27}$