lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được
x+√x2+1−(y+√y2+1)=2013y−2013x
hay
x+√x2+1+2013x=y+√y2+1+2013y=f(x)=f(y)
Xét hàm số f(x)=x+√x2+1+2013x
Hàm số này đồng biến với mọi x nên để hệ phương trình trên có nghiệm thì phải có nghiệm x=y
Từ đó ta có phương trình
x+√x2+1=2013x
Lại xét hàm số h(x)=2013x−x−√x2+1
h′(x)=ln2013.2013x−1−xx2+1>0 với mọi x <0
Với x≥0→h′(x)>ln2013.2013x−2>0 hiển nhiên đúng với x>0
Từ đó h(x) đồng biến với mọi x, nên nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất
dễ thấy h(x)=0 có nghiệm x=0
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x=0;y=0
Nhớ vote