Ta có:
.. Vì $(1+a)(1+b)\geq 1,\forall a,b\geq 0\Rightarrow (1+a)(1+b)\geq \sqrt{(1+a)(1+b)}$
.. $\sqrt{(1+a)(1+b)}\geq 1+\sqrt{ab}$
Thật vậy:
.. $\sqrt{(1+a)(1+b)}\geq 1+\sqrt{ab}\Leftrightarrow 1+a+b+ab\geq 1+2\sqrt{ab}+ab$
.. $\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\geq 0$ (hiển nhiên đúng)
.. $\Rightarrow (1+a)(1+b)\geq 1+\sqrt{ab}.$
Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=0.$