Số $\overline{6x31y} $ chia hết cho $45\Rightarrow $ Số $\overline{6x31y} $ chia hết cho $3$
$\Leftrightarrow (6+x+3+1+y)$ chia hết cho $3\Leftrightarrow (x+y+10)$ chia hết cho $3$
Số $\overline{6x31y} $ chia hết cho $45\Rightarrow $ Số $\overline{6x31y} $ chia hết cho $5\Rightarrow \left[\ \begin{array}{l} y=0\\ y=5 \end{array} \right.$
Với $y=0\Rightarrow x\in \left ( 2;5;8 \right )$. Thử lại ta được số $68310$ chia hết cho $45$.
Với $y=5\Rightarrow x\in \left ( 0;3;6;9 \right )$. Thử lại ta được số $63315$ chia hết cho $45$.
Vậy: $\left[\ \begin{array}{l} a=68310\\ a=63315. \end{array} \right.$