Nhận thấy $x=0$ không phải là nghiệm của PT đã cho.
Xét $x\neq 0,$ ta có PT đã cho tương đương với:
$x+\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=2+\frac{1}{x}\Leftrightarrow x-\frac{1}{x} +\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}-2=0$
Đặt $t=\sqrt[3]{x-\frac{1}{x}},$ ta có:
$t^3+t-2=0\Leftrightarrow (t-1)(t^2+t+2)=0\Leftrightarrow t=1$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-\frac{1}{x}}=1\Leftrightarrow x-\frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^2-x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.$