Điều kiện xác định: $x\leq 1,0\leq y\leq 16.$Đặt $a=x,b=\sqrt{y},b\geq 0$ ta có PT (1) của hệ tương đương với: $a+b+\sqrt{1+b^3}-\sqrt{1-a^3}=0$$\Leftrightarrow a+b+\frac{a^3+b^3}{\sqrt{1-a^3}+\sqrt{1+b^3}}=0$$\Leftrightarrow (a+b)(1+\frac{a^2+ab+b^2}{\sqrt{1-a^3}+\sqrt{1+b^3}})=0$$\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow x+\sqrt{y}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{y}$Thay vào PT (2) của hệ ta được: $(4x+3)(\sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$ $(3)$ $(-4\leq x\leq 1).$Ta có: $x=-\frac{3}{4}$ không phải là nghiệm của PT (3) Xét $x\neq -\frac{3}{4}$, ta có: $\sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x-8}-1=\frac{9}{3x+4}$ $(4)$Đặt $f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x+8}-1;g(x)=\frac{9}{3x+4}$, ta có: $f(x)$ đồng biến, $g(x)$ nghịch biến trên mỗi nữa khoảng $[-4;-\frac{3}{4})$ và $(-\frac{3}{4};1]$Do đó trên mỗi nửa khoảng PT (4) có không quá 1 nghiệm.Với $-4\leq x<-\frac{3}{4},$ ta có : $f(-3)=g(-3)\Rightarrow x=-3\Rightarrow y=9$.Với $-\frac{3}{4}Vậy: $(x;y)=(-3;9);(x;y)=(0;0).$
Điều kiện xác định: $x\leq 1,0\leq y\leq 16.$Đặt $a=x,b=\sqrt{y},b\geq 0$ ta có PT (1) của hệ tương đương với: $a+b+\sqrt{1+b^3}-\sqrt{1-a^3}=0$$\Leftrightarrow a+b+\frac{a^3+b^3}{\sqrt{1-a^3}+\sqrt{1+b^3}}=0$$\Leftrightarrow (a+b)(1+\frac{a^2+ab+b^2}{\sqrt{1-a^3}+\sqrt{1+b^3}})=0$$\Leftrightarrow a+b=0\Leftrightarrow x+\sqrt{y}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{y}\Rightarrow x\leq 0.$Thay vào PT (2) của hệ ta được: $(4x+3)(\sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x+8}-1)=9$ $(3)$ $(-4\leq x\leq 0).$Ta có: $x=-\frac{3}{4}$ không phải là nghiệm của PT (3) Xét $x\neq -\frac{3}{4}$, ta có: $\sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x-8}-1=\frac{9}{3x+4}$ $(4)$Đặt $f(x)=\sqrt{x+4}+\sqrt[3]{3x+8}-1;g(x)=\frac{9}{3x+4}$, ta có: $f(x)$ đồng biến, $g(x)$ nghịch biến trên mỗi nữa khoảng $[-4;-\frac{3}{4})$ và $(-\frac{3}{4};0]$Do đó trên mỗi nửa khoảng PT (4) có không quá 1 nghiệm.Với $-4\leq x<-\frac{3}{4},$ ta có : $f(-3)=g(-3)\Rightarrow x=-3\Rightarrow y=9$.Với $-\frac{3}{4}<x\leq 0,$ ta có: $f(0)=g(0)\Rightarrow x=0\Rightarrow y=0$Vậy: $(x;y)=(-3;9);(x;y)=(0;0).$