Điều kiện: $-1\leq x\leq 1.$Đặt $x=cost,$ phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt{1-\cos^{2} t}=4\cos^{3}t-3\cos t $ $\Leftrightarrow \sin t=\cos 3t$ $\Leftrightarrow \cos (t-\frac{\pi}{2})=\cos 3t$ $\Leftrightarrow t-\frac{\pi}{2}=\pm 3t+k.2\pi$ $k\in Z.$ $\Leftrightarrow t=-\frac{\pi}{4}+k.\pi$ hoặc $t=\frac{\pi}{8}+k.\frac{\pi}{2}$ $k\in Z.$Do đó: $x=............................................$

Điều kiện: $-1\leq x\leq 1.$Đặt $x=\cos t,t \in [0; \pi]$ phương trình đã cho tương đương với: $\sqrt{1-\cos^{2} t}=4\cos^{3}t-3\cos t $ $\Leftrightarrow \sin t=\cos 3t$ $\Leftrightarrow \cos (t-\frac{\pi}{2})=\cos 3t$ $\Leftrightarrow t-\frac{\pi}{2}=\pm 3t+k.2\pi$ $k\in Z.$ $\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} t=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\ t=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} t=\frac{3 \pi}{4} \\ t=\frac{ \pi}{8} \\ t=\frac{ 5\pi}{8} \end{array} \right.$Do đó: $\color{red}{x=-\frac{\sqrt 2}{2};x= \cos \frac{\pi}{8};x= \cos \frac{5\pi}{8}.}$

Điều kiện: $x\geq -2.$* Với $x>2\Rightarrow x^3-3x=x+x(x^2-4)>x>\sqrt{x+2}\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.*Với $-2\leq x\leq 2,$ đặt $x=2cost, t\in \left[ {0;\pi } \right].$ Khi đó phương trình đã cho trở thành: $8cos^3t-6cost=\sqrt{2+2cost}$ $\Leftrightarrow cos3t=cos\frac{t}{2}\Leftrightarrow \bigg[\begin{matrix} t=0 &\\ t=\frac{4\pi }{5} & ; t=\frac{4\pi }{7} \end{matrix}$Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $x=2; x=cos\frac{4\pi }{5}; x=cos\frac{4\pi }{7}.$

Điều kiện: $x\geq -2.$* Với $x>2\Rightarrow x^3-3x=x+x(x^2-4)>x>\sqrt{x+2}\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.*Với $-2\leq x\leq 2,$ đặt $x=2\cos t, t\in \left[ {0;\pi } \right].$ Khi đó phương trình đã cho trở thành: $8\cos^3t-6\cos t=\sqrt{2+2\cos t}$ $\Leftrightarrow \cos3 t=\cos\frac{t}{2}\Leftrightarrow \left[\ \begin{array}{l} t=0 \\ t=\frac{4\pi }{5} \\ t=\frac{4\pi }{7} \end{array} \right.$Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: $\color{red}{x=2; x=\cos \frac{4\pi }{5}; x=\cos \frac{4\pi }{7}}.$

GTNN

Bài 34: Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 3$. Tìm GTNN của biểu thức: $A=\frac{2}{3xy}+\sqrt{\frac{3}{y+1}}$

GTLN, GTNN

GTNN

Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 3$. Tìm GTNN của biểu thức: $A=\frac{2}{3xy}+\sqrt{\frac{3}{y+1}}$

GTLN, GTNN

GTNN

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 3$. Tìm GTNN của biểu thức:$A=\frac{2}{3xy}+\sqrt{\frac{3}{y+1}}$

GTLN, GTNN

GTNN

Bài 34: Cho $x, y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y\leq 3$. Tìm GTNN của biểu thức: $A=\frac{2}{3xy}+\sqrt{\frac{3}{y+1}}$

GTLN, GTNN

BPT

cho X,Y,Z>0 tm XYZ=3.cmr X^1/X . Y^1/Y . Z^1/Z <(XY+YZ+ZX) /3

Bất phương trình lôgarit

BĐT

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $xyz=3$. Cmr $x^{\frac{1}{x}}.y^{\frac{1}{y}}.z^{\frac{1}{z}}\leq 3.$

Bất đẳng thức

Nhân liên hợp cho vế trái, ta được: $\left ( \sqrt{2011+x^{2}} \right )\left ( \sqrt{2011+y^{2}} \right )=2011.$ (*)Lấy phương trình ban đầu trừ đi phương trình (*), rút gọn, ta được: $x\sqrt{2011+y^{2}}+y\sqrt{2011+x^{2}}$ (**)Khi $x=y=0$, ta có$ A=0$Khi $xy>0$, vô nghiệm. $\Rightarrow $Vô líKhi $xy<0$, từ (**), chuyển vế, bình phương, Ta có: $x^{2}\sqrt{2011+y^{2}}=y^{2}\sqrt{2011+x^{2}}$$\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}$Do $xy<0$ nên $x=-y$. Hay $A=x+y=0$Vậy: $A=0.$

Nhân liên hợp cho vế trái, ta được: $\left ( x-\sqrt{2011+x^{2}} \right )\left ( y-\sqrt{2011+y^{2}} \right )=2011.$ (*)Lấy phương trình ban đầu trừ đi phương trình (*), rút gọn, ta được: $x\sqrt{2011+y^{2}}+y\sqrt{2011+x^{2}}=0$ (**)Khi $x=y=0$, ta có$ A=0$Khi $xy>0$, vô nghiệm. $\Rightarrow $Vô líKhi $xy<0$, từ (**), chuyển vế, bình phương, Ta có: $x^{2}\sqrt{2011+y^{2}}=y^{2}\sqrt{2011+x^{2}}$$\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}$Do $xy<0$ nên $x=-y$. Hay $A=x+y=0$Vậy: $A=0.$

Nhân liên hợp cho vế trái, ta được: \left ( \sqrt{2011+x^{2}} \right )\left ( \sqrt{2011+y^{2}} \right )=2011. (*)Lấy phương trình ban đầu trừ đi phương trình (*), rút gọn, ta được: x\sqrt{2011+y^{2}}+y\sqrt{2011+x^{2}} (**)Khi x=y=0, ta có A=0Khi xy>0, vô nghiệm. \Rightarrow Vô lĩKhi xy<0, từ (**), chuyển vế, bình phương, Ta có: x^{2}\sqrt{2011+y^{2}}=y^{2}\sqrt{2011+x^{2}}\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}Do xy<0 nên x=-y. Hay A=x+y=0Vậy: A=0.

Nhân liên hợp cho vế trái, ta được: $\left ( \sqrt{2011+x^{2}} \right )\left ( \sqrt{2011+y^{2}} \right )=2011.$ (*)Lấy phương trình ban đầu trừ đi phương trình (*), rút gọn, ta được: $x\sqrt{2011+y^{2}}+y\sqrt{2011+x^{2}}$ (**)Khi $x=y=0$, ta có$ A=0$Khi $xy>0$, vô nghiệm. $\Rightarrow $Vô líKhi $xy<0$, từ (**), chuyển vế, bình phương, Ta có: $x^{2}\sqrt{2011+y^{2}}=y^{2}\sqrt{2011+x^{2}}$$\Leftrightarrow x^{2}=y^{2}$Do $xy<0$ nên $x=-y$. Hay $A=x+y=0$Vậy: $A=0.$