$\uparrow\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{a+bc} \le \frac 94\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{a(a+b+c)+bc} \le \frac 94$$\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{a}{(a+b)(a+c)} \le \frac 94\Leftrightarrow \frac{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}{(a+b)(b+c)(c+a)} \le \frac 94$
$\Leftrightarrow 9(a+b)(b+c)(c+a) \ge 8(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow9(a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc \ge 8(ab+bc+ca)$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca \ge 9abc\Leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca)-9abc \ge0$
$\Leftrightarrow a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2 \ge0$ (true)