Đặt $v_{n}=\frac{u_{n}+1}{u_{n}+4} (1)$.
Dễ dàng chứng minh được $v_{n+1}=\frac{2}{5} v_{n} $ với mọi $n$.
$\Rightarrow$ dãy số $(v_{n})$ là một cấp số nhân có công bội $q=\frac{2}{5}$
$\Rightarrow v_{n}=v_{1}(\frac{2}{5})^{n-1} \Rightarrow \mathop {\lim }\limits v_{n}=0$.
Từ đẳng thức $(1) \Rightarrow u_{n}=\frac{4v_{n}-1}{1-v_{n}}$.
Vậy $\mathop {\lim }u_{n}=-1$