Đặt AB=BC=AC=a, AM=x, AN=y,MN=z.
KẺ NH vuông góc AB. Ta thấy $AH=\frac{y}{2}; NH=\frac{y\sqrt{3}}{2}; HM=x-\frac{y}{2}$.
Theo định lý Pytago $MN^{2}=NH^{2}+HM^{2}=(\frac{y\sqrt{3}}{2})^{2} + (x-\frac{y}{2})^{2}=x^{2}+y^{2}-xy$
Dễ thấy x+y+z=2AD=a. Ta có:
$\frac{AM}{BM}+\frac{AN}{NC}=1$
$\Leftrightarrow \frac{x}{a-x}+\frac{y}{a-y}=1$
$\Leftrightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}=1$
$\Leftrightarrow ...........$
$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}-xy=z^{2}$ (đã chứng minh)
==> ahihi