|
|
sửa đổi
|
bpt
|
|
|
|
ĐKXĐ: $\begin{cases}x^2-4x+3\geq 0\\ 2x^2-3x+1\geq 0\end{cases}\Rightarrow x\in ( -\infty;\frac{1}{2}] hợp {1} hợp [3;+n ] \infty $+) TH1: $x\leq \frac{1}{2}\Rightarrow x-1<0$$Pt\Leftrightarrow \sqrt{-x+3}+\sqrt{-2x+1}\geq 1\Rightarrow $ Chuyển vế bình phương+) TH2: x=1 thỏa mãn+) TH3 : $x\geq 3$. $Pt\Leftrightarrow \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-1}\geq 1\Rightarrow $ Chuyển vế bình phương giải tiếp
ĐKXĐ: $\begin{cases}x^2-4x+3\geq 0\\ 2x^2-3x+1\geq 0\end{cases}\Rightarrow x\in ( -\infty;\frac{1}{2}] hợp {1} hợp [3;+n ] \infty $+) TH1: $x\leq \frac{1}{2}\Rightarrow x-1<0$$Pt\Leftrightarrow \sqrt{-x+3}+\sqrt{-2x+1}\geq \sqrt{1-x}\Rightarrow $ Chuyển vế bình phương+) TH2: x=1 thỏa mãn+) TH3 : $x\geq 3$. $Pt\Leftrightarrow \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-1}\geq \sqrt{x-1}\Rightarrow $ Chuyển vế bình phương giải tiếp
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giải hệ phương trình
|
|
|
|
1) ĐK:..............Do $y+\sqrt{1+y^2}\neq 0$$Pt(1)\Leftrightarrow x+\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{y+\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{1+y^2}-y$$\Leftrightarrow x+\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+(-y)^2}+(-y)$Xét hàm : $f()=t+\sqrt{t^2+1}\Rightarrow$ Đồng biến và liên tụcDo đó: $Pt\Leftrightarrow x=y$ (P/s: Nếu chưa học đạo hàm thì chuyển vế nhân liên hợp cũng được nhé!)Thế x=y vào pt (2) tự giải nốt nhé!
1) ĐK:..............Do $y+\sqrt{1+y^2}\neq 0$$Pt(1)\Leftrightarrow x+\sqrt{1+x^2}=\frac{1}{y+\sqrt{1+y^2}}=\sqrt{1+y^2}-y$$\Leftrightarrow x+\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+(-y)^2}+(-y)$Xét hàm : $f()=t+\sqrt{t^2+1}\Rightarrow$ Đồng biến và liên tụcDo đó: $Pt\Leftrightarrow x=-y$ (P/s: Nếu chưa học đạo hàm thì chuyển vế nhân liên hợp cũng được nhé!)Thế x=y vào pt (2) tự giải nốt nhé!
|
|
|
|
sửa đổi
|
Giải hệ phương trình
|
|
|
|
Giải hệ phương trình 1) $ \begin{cases}(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1\\ x\sqrt{6x-2xy+1}=4xy+6x+1 \end{cases} $2) $\begin{cases}(8x-3)\sqrt{2x-1}-y-4y^{3}=0 \\ 4x^{2}-8x+2y^{3}+y^{2}-2y+3=0 \end{cases} $3) $\begin{cases}2\sqrt{x+y+6}=1-y \\ 9\sqrt{1+x}+xy\sqrt{9+y^{2}}=0 \end{cases}$4) $\begin{cases}x\sqrt{12-y}+y\sqrt{12-x^{2}}=12 \\ x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{cases}$5) $\begin{cases}2x^{2}+y^{2}-3xy+3x-2y+1=0 \\ 4x^{2}-y^{2}+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y} \end{cases}$
Giải hệ phương trình 1) $ \begin{cases}(x+\sqrt{1+x^{2}})(y+\sqrt{1+y^{2}})=1\\ x\sqrt{6x-2xy+1}=4xy+6x+1 \end{cases} $2) $\begin{cases}(8x-3)\sqrt{2x-1}-y-4y^{3}=0 \\ 4x^{2}-8x+2y^{3}+y^{2}-2y+3=0 \end{cases} $3) $\begin{cases}2\sqrt{x+y+6}=1-y \\ 9\sqrt{1+x}+xy\sqrt{9+y^{2}}=0 \end{cases}$4) $\begin{cases}x\sqrt{12-y ^2}+y\sqrt{12-x^{2}}=12 \\ x^{3}-8x-1=2\sqrt{y-2} \end{cases}$5) $\begin{cases}2x^{2}+y^{2}-3xy+3x-2y+1=0 \\ 4x^{2}-y^{2}+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y} \end{cases}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Hay nè!!!
|
|
|
|
ĐKXĐ: ....................Đặt $\begin{cases}\sqrt{3x^2-1}=a \\ \sqrt{5x-3}=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}3(x^2+1)=a^2+4 \\ 5x-2=b^2+1 \end{cases}$ +) TH1: $\begin{cases}3x^2-1\geq 0\\ 5x-3>0 \end{cases}$. Pt trở thành : $\frac{a^2+4}{b^2+1}=\frac{2a}{b}\Leftrightarrow a^2b+4b=2ab^2+2a\Leftrightarrow (a-2b)(ab-2)=0\Leftrightarrow .............$
ĐKXĐ: ....................Đặt $\begin{cases}\sqrt{3x^2-1}=a \\ \sqrt{5x-3}=b \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}3(x^2+1)=a^2+4 \\ 5x-2=b^2+1 \end{cases}$ +) TH1: $\begin{cases}3x^2-1\geq 0\\ 5x-3>0 \end{cases}$. Pt trở thành : $\frac{a^2+4}{b^2+1}=\frac{2a}{b}\Leftrightarrow a^2b+4b=2ab^2+2a\Leftrightarrow (a-2b)(ab-2)=0\Leftrightarrow .............$ +) TH2: Tương tự> CHú ý khi tách căn phải thêm dấu trừ nhé!
|
|
|
|
sửa đổi
|
hệ
|
|
|
|
hệ 16 căn(3y+4 )=85-2x16(x^2-y)+6x(3-4x)=6 cănbậc3 (y+1 )+21
hệ $16 \sqrt{3y+4 }=85-2x $$16(x^2-y)+6x(3-4x)=6 \sqrt[3 ]{y+1 }+21 $
|
|
|
|
sửa đổi
|
(3)
|
|
|
|
$Pt\Leftrightarrow x^3+x^2-3x+x-1=(x+1)\sqrt[3]{3x+x}$Đặt $\sqrt[3]{3x+1}=t\Rightarrow 3x=t^3-1$. Phương trình trở thành: $x^3+x^2-(t^3-1)+x-1=(x+1)t\Leftrightarrow x^3-t^3+x^2-xt+x-t=0\Leftrightarrow (x-t)(x^2+xt+t^2+x+1)=0$ Dễ chứng minh $x^2+xt+t^2+x+1>0$ Do đó: $x=t\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3x+1}\Leftrightarrow ...............$
$Pt\Leftrightarrow x^3+x^2-3x+x-1=(x+1)\sqrt[3]{3x+x}$Đặt $\sqrt[3]{3x+1}=t \Rightarrow 3x=t^3-1$. Phương trình trở thành: $x^3+x^2-(t^3-1)+x-1=(x+1)t\Leftrightarrow x^3-t^3+x^2-xt+x-t=0\Leftrightarrow (x-t)(x^2+xt+t^2+x+1)=0$ Dễ chứng minh $x^2+xt+t^2+x+1>0$ Do đó: $x=t\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{3x+1}\Leftrightarrow ...............$
|
|
|
|
sửa đổi
|
(16)
|
|
|
|
Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$ ta có: +) $\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{64}{27}.\frac{a-1}{a}+\frac{64}{27}.\frac{a-1}{a}\geq \frac{16}{3}$+) $\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{1}{27}.\frac{b-1}{b}+\frac{1}{27}.\frac{b-1}{b}\geq \frac{1}{3}$+) $\frac{c^2}{(c-1)^2}+\frac{1}{27}.\frac{c-1}{c}+\frac{1}{27}.\frac{c-1}{c}\geq \frac{1}{3}$Cộng lại theo vế ta có: $VT+\frac{128}{27}.(1-\frac{1}{a})+\frac{2}{27}.(1-\frac{1}{b})+\frac{2}{27}.(1-\frac{1}{c})\geq 6$$VT+\frac{44}{9}-\frac{2}{27}.(\frac{64}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 6$$VT\geq \frac{10}{9}+\frac{2}{27}.(\frac{(-8)^2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwart$ ta có: $VT\geq \frac{10}{9}+\frac{2}{27}.\frac{(-8+1+1)^2}{a+b+c}=2$Dấu bằng xảy ra khi $a=4 ; b=c=\frac{-1}{2}$
Áp dụng Bất đẳng thức $Cauchy$ ta có: +) $\frac{a^2}{(a-1)^2}+\frac{64}{27}.\frac{a-1}{a}+\frac{64}{27}.\frac{a-1}{a}\geq \frac{16}{3}$+) $\frac{b^2}{(b-1)^2}+\frac{1}{27}.\frac{b-1}{b}+\frac{1}{27}.\frac{b-1}{b}\geq \frac{1}{3}$+) $\frac{c^2}{(c-1)^2}+\frac{1}{27}.\frac{c-1}{c}+\frac{1}{27}.\frac{c-1}{c}\geq \frac{1}{3}$Cộng lại theo vế ta có: $VT+\frac{128}{27}.(1-\frac{1}{a})+\frac{2}{27}.(1-\frac{1}{b})+\frac{2}{27}.(1-\frac{1}{c})\geq 6$$VT+\frac{44}{9}-\frac{2}{27}.(\frac{64}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 6$$VT\geq \frac{10}{9}+\frac{2}{27}.(\frac{(-8)^2}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwart$ ta có: $VT\geq \frac{10}{9}+\frac{2}{27}.\frac{(-8+1+1)^2}{a+b+c}=2$Dấu bằng xảy ra khi $a=4 ; b=c=\frac{-1}{2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
hệ phương trình
|
|
|
|
hệ phương trình giải hệ : x^3+3.x.(y^2)=2 và 3(x^2)y+y^3=1
hệ phương trình giải hệ : $x^3+3.x.(y^2)=2 $ và $3(x^2)y+y^3=1 $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Bất Đẳng thức
|
|
|
|
Bất Đẳng thức Cho a,b,c>0 có a+b+c=3. CMR: \frac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}+ \frac{b^3+bc^2}{b^2+c+c^2}+\frac{c^3+ca^2}{c^2+a+a^2}\geq2
Bất Đẳng thức Cho a,b,c>0 có a+b+c=3. CMR: $\frac{a^3+ab^2}{a^2+b+b^2}+ \frac{b^3+bc^2}{b^2+c+c^2}+\frac{c^3+ca^2}{c^2+a+a^2}\geq2 $
|
|
|
|
sửa đổi
|
chi tiết hộ e vs ak
|
|
|
|
chi tiết hộ e vs ak Rút gọnB=$\sqrt{x^{2} +\frac{1}{x^{2}}-2}$ $-$ $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2}$
chi tiết hộ e vs ak Rút gọnB=$\sqrt{x^{2} -\frac{1}{x^{2}}-2}$ $-$ $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
chi tiết hộ e vs ak
|
|
|
|
chi tiết hộ e vs ak Rút gọnB=$\sqrt{x^{2} -\frac{1}{x^{2}}-2}$ $-$ $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2}$
chi tiết hộ e vs ak Rút gọnB=$\sqrt{x^{2} +\frac{1}{x^{2}}-2}$ $-$ $\sqrt{x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
giải hệ pt
|
|
|
|
Từ $x^2.y^2=9\Rightarrow xy=\pm 3$ +) TH1: $xy=-3$. $Pt(1)\Leftrightarrow 3[(x-y)^3-3xy(x-y)]=4xy\Leftrightarrow 3(x-y)^3+27(x-y)+12=0$Bạn giải ra $x-y$ rồi kết hợp được hệ đối xứng :$\begin{cases}x-y=....... \\ xy=-3 \end{cases}$Tương tự cho TH2: $xy=3$ nhé
Từ $x^2.y^2=9\Rightarrow xy=\pm 3$ +) TH1: $xy=-3$. $Pt(1)\Leftrightarrow 3[(x-y)^3+3xy(x-y)]=4xy\Leftrightarrow 3(x-y)^3-27(x-y)+12=0$Bạn giải ra $x-y$ rồi kết hợp được hệ đối xứng :$\begin{cases}x-y=....... \\ xy=-3 \end{cases}$Tương tự cho TH2: $xy=3$ nhé
|
|
|
|
sửa đổi
|
giải hệ pt
|
|
|
|
giải hệ pt Giải hệ: 3x^3-3y^3=4xy và x^2.y^2=9
giải hệ pt Giải hệ: $3x^3-3y^3=4xy $ và $x^2.y^2=9 $
|
|
|
|
sửa đổi
|
Min....
|
|
|
|
Do $x,y,z $ nguyên dương nên ta có: $x\geq 1$ ; $y\geq 1$ $\Leftrightarrow z=x+y+1\geq 3$ $\Rightarrow z\geq 3$Thay $1=z-x-y$ vào mẫu thức ta có : $A=\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$Áp dụng Cô-si ta có: $\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{z-x}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3x}{4}$$\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z-y}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3y}{4}$$\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{8(z-x)}{27}+\frac{8(z-y)}{27}\geq \frac{27z}{4}$$\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$ (Áp dụng Cô-si 2 số và giả thiết $x+y=z-1$) Cộng lại theo vế và rút gọn ta có: $VT\geq \frac{15z-16}{4}+\frac{28}{(z+1)^2}=\frac{23(z+1)}{8}+\frac{7(z+1)}{16}+\frac{7(z+1)}{16}+\frac{28}{(z+1)^2}-\frac{31}{4}$Lại áp dụng Cô-si 3 số ta có: $VT\geq \frac{23(z+1)}{8}+3.\frac{7}{4}-\frac{31}{4}$Mà $z\geq 3$ nên $VT\geq \frac{23(3+1)}{8}+\frac{21}{4}-\frac{31}{4}=9$Vậy A đặt giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=y=1 và z=3
Do $x,y,z $ nguyên dương nên ta có: $x\geq 1$ ; $y\geq 1$ $\Leftrightarrow z=x+y+1\geq 3$ $\Rightarrow z\geq 3$Thay $1=z-x-y$ vào mẫu thức ta có : $A=\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}$Áp dụng Cô-si ta có: $\frac{x^3}{(z-x)(x+y)}+\frac{z-x}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3x}{4}$$\frac{y^3}{(z-y)(x+y)}+\frac{z-y}{8}+\frac{x+y}{8}\geq \frac{3y}{4}$$\frac{z^3}{(z-x)(z-y)}+\frac{8(z-x)}{27}+\frac{8(z-y)}{27}\geq \frac{27z}{4}$$\frac{14}{(z+1)\sqrt{(x+1)(y+1)}}\geq \frac{28}{(z+1)^2}$ (Áp dụng Cô-si 2 số và giả thiết $x+y=z-1$) Cộng lại theo vế và rút gọn ta có: $VT\geq \frac{15z-16}{4}+\frac{28}{(z+1)^2}=\frac{23(z+1)}{8}+(\frac{7(z+1)}{16}+\frac{7(z+1)}{16}+\frac{28}{(z+1)^2})-\frac{31}{4}$Lại áp dụng Cô-si 3 số ta có: $VT\geq \frac{23(z+1)}{8}+3.\frac{7}{4}-\frac{31}{4}$Mà $z\geq 3$ nên $VT\geq \frac{23(3+1)}{8}+\frac{21}{4}-\frac{31}{4}=9$Vậy A đặt giá trị nhỏ nhất là 9 khi x=y=1 và z=3
|
|
|
|
sửa đổi
|
hệ hay
|
|
|
|
hệ hay Giải phương trình: $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-x}+4+2\sqrt{3+4x-4x^2}=\frac{1}{4}(4x^2-4x +3)(2x-1)^2$ trên tập số thực
hệ hay Giải phương trình: $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-x}+4+2\sqrt{3+4x-4x^2}=\frac{1}{4}(4x^2-4x -3)(2x-1)^2$ trên tập số thực
|
|