|
|
sửa đổi
|
bất đẳng thức hay 2
|
|
|
|
trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ $\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\geq 0<=>\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0<=>(\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}})(\frac{\sqrt{x}}{1+x}-\frac{\sqrt{y}}{1+y})\geq 0<=>\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+\sqrt{xy})(1+x)(1+y)}\geq 0$ do $xy\geq 1$nên bdt cuối cùng đúng .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y hoặc xy=1. từ bất đẳng thức nói trên ta vận dụng cho bài tập mình đưa ra nha: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{t}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{2+\sqrt{zt}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$ dccm áp dụng tương tự cho bất đẳng thức dưới ta sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp sẽ được điều cần cm. chúc các bạn học tốt nha!
trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$ $\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\geq 0<=>\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0<=>(\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}})(\frac{\sqrt{x}}{1+x}-\frac{\sqrt{y}}{1+y})\geq 0<=>\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+\sqrt{xy})(1+x)(1+y)}\geq 0$ do $xy\geq 1$nên bdt cuối cùng đúng .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y hoặc xy=1. từ bất đẳng thức nói trên ta vận dụng cho bài tập mình đưa ra nha: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{t}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{zt}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$ dccm áp dụng tương tự cho bất đẳng thức dưới ta sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp sẽ được điều cần cm. chúc các bạn học tốt nha!
|
|
|
|
giải đáp
|
bất đẳng thức hay 2
|
|
|
|
trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
$\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\geq 0<=>\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0<=>(\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}})(\frac{\sqrt{x}}{1+x}-\frac{\sqrt{y}}{1+y})\geq 0<=>\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+\sqrt{xy})(1+x)(1+y)}\geq 0$
do $xy\geq 1$nên bdt cuối cùng đúng .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y hoặc xy=1.
từ bất đẳng thức nói trên ta vận dụng cho bài tập mình đưa ra nha:
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{zt}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$ dccm
áp dụng tương tự cho bất đẳng thức dưới ta sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp sẽ được điều cần cm.
chúc các bạn học tốt nha!
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
bất đẳng thức hay
|
|
|
|
ta có :$\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}<=>4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}<=>\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}\geq a+b$ tương tự ta có $P\geq (a+b)+(a+b)+(a+b)+2(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=(a+a+\frac{2}{a^{2}})+(b+b+\frac{2}{b^{2}})+(c+c+\frac{2}{c^{2}})\geq 9\sqrt[3]{2}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=$\sqrt[3]{2}$.vậy $Pmin=9\sqrt[3]{2}$ chúc các bạn học tốt!
ta có :$\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}<=>4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}<=>\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}\geq a+b$ tương tự ta có $P\geq (a+b)+(b+c)+(c+a)+2(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=(a+a+\frac{2}{a^{2}})+(b+b+\frac{2}{b^{2}})+(c+c+\frac{2}{c^{2}})\geq 9\sqrt[3]{2}$ dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=$\sqrt[3]{2}$.vậy $Pmin=9\sqrt[3]{2}$ chúc các bạn học tốt!
|
|
|
|
giải đáp
|
bất đẳng thức hay
|
|
|
|
ta có :$\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}<=>4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}<=>\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})}\geq a+b$
tương tự ta có $P\geq (a+b)+(b+c)+(c+a)+2(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})=(a+a+\frac{2}{a^{2}})+(b+b+\frac{2}{b^{2}})+(c+c+\frac{2}{c^{2}})\geq 9\sqrt[3]{2}$
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=$\sqrt[3]{2}$.vậy $Pmin=9\sqrt[3]{2}$
chúc các bạn học tốt!
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
bất đẳng thức hay 2
|
|
|
|
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}},\forall x,y,z,t\geq 1$
$\frac{1}{1+x_{1}}+\frac{1}{1+x_{2}}+...+\frac{1}{1+x_{n}}\geq \frac{n}{1+\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}},\forall x_{1},x_{2},...,x_{n}\geq 1,n\in N,n\geq 2$
các bạn làm bài này nếu đã làm thì làm rõ ràng cho mình nha! |
|
|
|
đặt câu hỏi
|
bất đẳng thức hay
|
|
|
|
Cho a,b,c là các số thực dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
$P=\sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3}})+\sqrt[3]{4(b^{3}+c^{3}})+\sqrt[3]{4(c^{3}+a^{3}})+2\left ( \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}} \right )$
chúc các bạn học tốt !hihi |
|
|
|
|
|
|
|
đặt câu hỏi
|
bất đẳng thức hay
|
|
|
|
Cho $x\geq y\geq z\geq 0$ và không có hai số nào đồng thời bằng 0 .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$P=\sqrt{\frac{x^{2}+z^{2}}{y^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+z^{2}}}+\sqrt{\frac{z^{2}+xy}{x^{2}+y^{2}}}$
chúc các bạn vui vẻ ha! Xem thêm: Mời mọi người tham gia cuộc thi do các Admin tổ chức CLICK!
|
|
|
|