trước tiên ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$
$\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}+\frac{1}{1+y}-\frac{1}{1+\sqrt{xy}}\geq 0<=>\frac{\sqrt{xy}-x}{(1+x)(1+\sqrt{xy})}+\frac{\sqrt{xy}-y}{(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0<=>(\frac{\sqrt{y}-\sqrt{x}}{1+\sqrt{xy}})(\frac{\sqrt{x}}{1+x}-\frac{\sqrt{y}}{1+y})\geq 0<=>\frac{(\sqrt{y}-\sqrt{x})^{2}(\sqrt{xy}-1)}{(1+\sqrt{xy})(1+x)(1+y)}\geq 0$
do $xy\geq 1$nên bdt cuối cùng đúng .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x=y hoặc xy=1.
từ bất đẳng thức nói trên ta vận dụng cho bài tập mình đưa ra nha:
$\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+t}\geq \frac{2}{1+\sqrt{xy}}+\frac{2}{1+\sqrt{zt}}\geq \frac{4}{1+\sqrt[4]{xyzt}}$ dccm
áp dụng tương tự cho bất đẳng thức dưới ta sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp sẽ được điều cần cm.
chúc các bạn học tốt nha!