Có $M=1-\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+\frac1{x^2y^2}$
$=1-\frac{x^2+y^2-1}{x^2y^2}$
$=1-\frac{x^2+y^2-x-y}{x^2y^2}$
$=1-\frac{x(x-1)+y(y-1)}{x^2y^2}$
$=1-\frac{-2xy}{x^2y^2}$
$=1+\frac{2}{xy}$
Có $x+y=1$. Áp dụng cosi, có $\sqrt{xy} \leq \frac{1}2$
$ \Leftrightarrow 0 < xy \leq \frac{1}4$
$\Leftrightarrow \frac{2}{xy} \geq 8$
$\Leftrightarrow M \geq 9$
Vậy $M_{min}=9 \Leftrightarrow x=y=\frac{1}2$