xy2z2+x2z+y=3z2⇔xy2+x2z+yz2=3⇔3≤(x2y2+y2+x2z2+x2+y2z2+1z2)/2
Đặt a=x2;b=y2;c=1z2(x,y,z>0)⇒a+b+c+ab+bc+ca≥6
Ta có
P=z41+z4(x4+y4)=11z4+x4+y4=1a2+b2+c2
Lại có
a2+1≥2a⇒a2+b2+c2+1+1+1≥2a+2b+2c
a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ca
⇒3(a2+b2+c2)+3≥2(a+b+c+ab+bc+ca)≥12⇒a2+b2+c2≥3
⇒P≤1/3
MaxP=1/3
Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi x=y=z=1