d,$\Delta ABC$ có đường kính bc
từ câu c==>$\widehat{BCM}+\widehat{BEM}=180^0=>\widehat{BCM}=90^0(\widehat{BEM}=90^0)$=>DPCM

c,ta có $\widehat{CEM}=\widehat{CBM}=45^0==>$ tứ giác CBEM nội tiếp(1)
xét $\Delta EAK=\Delta CAB:CA=AE;AB=AK;\widehat{BAC}=\widehat{EAK}$
=>$\widehat{BCK}=\widehat{BEK}=>$ tứ giác CBKE nội tiếp (2)
từ (1)(2)==> DPCM

b,ta có$\widehat{BCF}=\widehat{BAF}$(2 góc nội tiếp nhìn cung BF  )$=\widehat{BAH}=45^0$
MÀ $ \Delta BCF$ vuông tại F=> ĐPCM

$(C)$ có tâm $I(-1;0)  R=\sqrt5$
ta có $IM.sin30^0 =R=>IM=2\sqrt5$
Vậy là về bài toán tìm điểm thuộc đường biết khoảng cách đến một điểm cho trước nhé
Gọi $M(a;a+1)\in d$
$IM^2=2(a+1)^2=20=>a=1\pm \sqrt{10}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Gọi $H$ là trung điểm $AC=>SH$_|_$(ABC)$
Gọi $K$ là trung điểm $AC$ gọi $d$ qua $K       d//SH$
Ta có $AK=CK=BK=\frac{AC}2=>d$ chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Gọi $I\in d    IK=x$
$I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp
$\Leftrightarrow IA=IS\Leftrightarrow (\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KA})^2=(\overrightarrow{IK}+\overrightarrow{KH}+\overrightarrow{HS})^2$
$\Leftrightarrow x^2+2a^2=x^2+a^2+3a^2+2x.\sqrt3a.cos(\overrightarrow{IK};\overrightarrow{HS})$
$\rightarrow 2x.\sqrt3a.cos(\overrightarrow{IK};\overrightarrow{HS})=-2a^2=>x=\frac{a\sqrt3}{3}$
Suy ra tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện là điểm $I$ nằm trên đường thẳng $d$ qua $K$ và $//SH$
cách $K$ một khoảng $x=\frac{a\sqrt3}3$ nằm miền chưa $S$ chia bởi mặt phẳng $(ABC)$
$R=\frac{\sqrt21 a}3$

ta có $A,B \in (C)$ và $AB$ là đường kính
$==>\Delta ABH$  Có đường cao $AN $ và $BM$ trực tâm $C$
mà $AN$ qua $A$ và có $VTPT   \overrightarrow{HB}(2;\frac72)=>AN:4x+7y-29=0$
tt$==>BM:4x-y-18=0=>H(\frac{155}{32};\frac{11}8)$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$,cho hình chữ nhật $ABCD $có$ AB=2BC; M$ là trung điểm $BC$ ; pt $AM:3x-5y+9=0$ và $D(-1;-2.)$biết $B \in d:3x-y+1=0$ và $x_B>0. $xác định tọa độ $A,B,C$

giải hệ $\begin{cases}y^3-8y+40=2\sqrt[3]{x-5}-x \\ \frac{x^4+y^4}{(x+y)^4}=\frac{xy}{x^2+y^2}-\frac38 \end{cases}$

ta có $x^2+3x+10\geqslant 0=>BPT\Leftrightarrow -2x^2+7x+7\leqslant -x^2-3x-10$
$\Leftrightarrow x^2-10x-17\geqslant 0=>x\in(-\infty;5-\sqrt{42}]\cup[5+\sqrt{42};+\infty)$

Cho $a,b \in (0;1)   (a^3+b^3)(a+b)=ab(1-a)(1-b)$ Tìm GTLN của
$F=\frac1{\sqrt{1+a^2}}+\frac1{\sqrt{1+b^2}}+3ab-a^2-b^2$

tiếp tuyến tại $A(1;0)$ có dạng $y=x-1$
$D=${$y=x-1; y=lnx ; x=e$}
bài này phải vẽ hình               
từ hình vẽ $V=\pi \int\limits_{1}^{e}[(x-1)^2-ln^2x]dx=\pi[ \frac{(x-1)^3}{3}-ln^2x.x+lnx.x-x]|^e_1=\pi(\frac{(e-1)^3}{3}-e+1)$

Bài 3
Gọi $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC==> SH$_|_$(ABC)$
vì $\Delta ACB$ cân tạ $A=>AH$_|_$BC=>\widehat{(SBC);(ACB)}=\widehat{SMA}$
Với $M$ là trung điểm $BC$
để giải quyết đc bài toán ta cần tính  $HM$
cái này phải dùng đến cái m k thích tẹo nào định lý cos trong tam giác
tính góc $ABC$=> sd định lý cos cho tam giác $HBM$
hoặc  $HM.(BC+AB+AC)=2S\Delta ABC=>HM=a\frac32=>SH=3a$
$=>V=12a^3$

ĐK $x\in [-\sqrt2; \sqrt2]$
Ta có $f;(x)=1-\frac{x}{\sqrt{2-x^2}}=0\Leftrightarrow x=1$
bảng biến thiên
$x           -\sqrt2                                      1                                \sqrt2$
$f'(x)              +              0                  -$


$f(x)     -\sqrt2                     2                                            \sqrt2$
$==> fmax=2\Leftrightarrow x=1 fmin=-\sqrt2  \Leftrightarrow x=-\sqrt2$

Bài 2
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $AB==> SH$_|_$(ABC)$
gọi $I;J$ lần lượt là hình chiếu của $H$ lân $AC;AB$
$==>\widehat{SIH}=\widehat{SIH}=45^0=>\Delta SIH=\Delta SJH=>IH=JH=> H$ nằm trên tia phân giác góc $\widehat{ACB}=>H $ là trung điểm $AB$
Gọi $G$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$
Gọi $d$ qua $G$ và song song $SH=> d$ là trục đường tòn ngoại tiếp tam giác
gọi $O\in d  :OG=x$
$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Leftrightarrow OS=OC\Leftrightarrow (\overrightarrow{OS})^2=\overrightarrow{OC}$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow{OH}+ \overrightarrow{HG}+\overrightarrow{GO})^2=(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})^2$
$\frac{a^2}4+\frac{a^2.3}{36}+x^2+2.x.\frac{a}{2}cos(\overrightarrow{SH};\overrightarrow{GO})=x^2+\frac{a^3}3$
$=>x=0=>O\equiv G =>R=\frac{a\sqrt3}3$