BAI 2
Dặt $\sqrt[3]{x+34}=a=>x=a^3-34=>a\geqslant \sqrt[3]{34}=>pt\Leftrightarrow a-\sqrt{a^3-37}=1$
$\Leftrightarrow a-1=\sqrt{a^3-37}\Leftrightarrow a^3-a^2+2a-38=0=>a\approx 3,5(tm)=>x=...$

Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$
Ta có tứ giác $BA'HC'$ nội tiêp (do $\widehat{BC'A'}=\widehat{BA'H}=90^ 0)$
$\rightarrow \widehat{C'BH}=\widehat{C'A'H}$ (Do cùng chắn cung $C'H$)
cmtt  Tứ giác $BC'B'C$ và$B'HA'C$ nội tiếp
$\rightarrow \widehat{C'BH}=\widehat{HCB'}   ;\widehat{HA'B'}=\widehat{HCB'}$
$\rightarrow \widehat{C'A'H}=\widehat{HA'B'}\rightarrow A'H$ là tia phân giác của góc $\widehat{C'A'B'}$
Chứng minh tương tự có $B'H ' ;C'H$ là phân giác góc $\widehat{C'B'A'};\widehat{B'C'A'}$
$\rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác$\Delta A'B'C'$
Vậy bạn chỉ cần tìm $H$ Với $H$ là tâm đườn tròn ngoại tiếp $\Delta A'B'C'$
$AC$ quá $B'$ và vuông $HB'$

Bài 2 $(C)$ có tâm $I(3;0)  R=\sqrt5$
$A\in (C)$
$\widehat{EAF}=60^0\rightarrow \widehat{EIF}=120^0\rightarrow d(I;\Delta)=\frac R2$
$\Delta$ qua M có hệ số góc là k
$\Delta: y=k(x+2)-\frac{\sqrt5}2$
$d(I;\Delta)=\frac{|5k-\frac{\sqrt5}2|}{\sqrt{1+k^2}}=\frac{\sqrt5}2......$

Câu 1
Dễ thấy $C\notin d_2,d_2$
Gọi $A=d_1\cap d_2\rightarrow A(-\frac12;\frac13)$
$BC$ qua $C$ và vuông $d_1=>BC:3x+2y-10=0$
Gọi $M$ là trung điểm $BC\rightarrow d_2\cap BC=M(6;-4)\rightarrow B(8;-7)$

Gọi $M(0;a)\in Oy$
$d$ qua $M$ có hệ số góc là $k\rightarrow d: y=kx+a$
$d$ là phương trình tiếp tuyến $\Leftrightarrow \begin{cases}x^4-2x^2-1=kx+a \\ k=4x^3-6x \end{cases}$  có nghiệm
$\rightarrow 3x^4-4x^2+a+1=0(*)$
ĐK kẻ đc 3 tiếp tuyến $(*)$ có 3 nghiệm phân biệt $a=-1$
Vậy $M(0;-1)$ thỏa đề

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Câu 2  $(S)$ có tâm $I(-1;2;0)     R=5             M(2;0;1)$
$\Delta$ qua $N(4;0;0)$ có VTCP $\overrightarrow{u_1}(-6;1;4)$
$(P)  x-2y+2z-4=0$

Ta có $d(I;(P))=3<R\rightarrow (P)\cap (S)=(J;4)$ với $J$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$
$d$ cắt $(J;4)$ chính là giao của $d$ với $(S)$
dộ dài dây cung max khi $d$ qua $J$
Vậy tìm $J$ là xong
$IJ$ qua $I$ vuông $(P)$
$\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z}{2}$
$J(-1+a;2-2a;2a)\in IJ$
mặt khác $J\in (P)\rightarrow -1+a-4+4a+4a-4=0\Leftrightarrow a=1$
$J(0;0;2)\rightarrow d:  x=2t   y=0   z=2-t$

Câu 1
$d_1 ;d_2 $ lần lượt có VTCP $\overrightarrow{u_1}$(0;-3;1)  $;\overrightarrow{u_2}(1;-1;0)$
Gọi $\overrightarrow{n}(a;b;c)$ là VTPT của $(P)$
ycbt$\Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_2}=0 \\ \frac{|\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_1}|}{|\overrightarrow{n}|.|\overrightarrow{u_1}|}=\sqrt{\frac{13}{15}} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a-b=0 \\ \frac{|3b-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{13}{15}} \end{cases}$
thế $a=b$ vào pt $(2)$ và bình phương ta có
$15(9b^2-6bc+c^2)=130(2b^2+c^2)\Leftrightarrow $

Để tìm tọa độ điểm cố định nhóm tham số vào một nhóm
$m(x^3-3x^2+3)+x^3-x^2-x-y=0$
Để cho luôn đi qua $\begin{cases}x^3-3x^2+3=0 \\ x^3-x^2-x-y=0 \end{cases}$
cái này có 3 nghiệm nhưng xấu quá trời