Bài này ta sẽ giải theo cách dùng bảng biến thiên, nhưng vì tớ không biết cách vẽ bảng biến thiên trên này, nên bạn tự vẽ ra rồi đối chiếu nha
Trước tiên ta tìm:
Hoành độ đỉnh:  $x=\frac{-2a}{-2}=a$
Th1: $a<0$. Khi đó $y_{max}=y(0)=3\Leftrightarrow -(a^2-2a+3)=3\Leftrightarrow a^2-2a+6=0(VN)$
Th2: $0\leq a\leq 4$. Khi đó $y_{max}=y(a)=-a^2+2a^2-(a^2-2a+3)=3\Leftrightarrow a=3$(thỏa dk)
Th3: $a>4$. Khi đó $y_{max}=y(4)=-16+8a-(a^2-2a+3)=3\Leftrightarrow -a^2+10a-22=0$
$\Leftrightarrow a=5+\sqrt{3}$( tm dk) hoặc  $a=5-\sqrt{3}$(ko tm dk)
Vậy: khi $a=3$ hoặc $a=5+\sqrt{3}$ thì GTLN của y trong [  0;4] là 3

Áp dụng bdt quen thuộc:
$3(a^2+b^2+c^2)\geq (a+b+c)^2\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq9$ (vì a+b+c=3)$(1)$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1
Với $a=b=c=1$ Suy ra $abc=1\Leftrightarrow 3abc=3$$(2)$
 Cộng $(1)$ và $(2)$ vế theo vế ta được:
$3(a^2+b^2+c^2)+3abc \geq 12\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+abc \geq 4 \Rightarrow$đpcm