Giải phương trình: $1+2\cos x+\sin x\cos x=0$

Cho hình tứ diện $ABCD$ có các cặp cạnh đối bằng nhau: $AB=CD, AC=BD; AD=BC$. Chứng minh rằng tâm hình cầu ngoại tiếp và nội tiếp của tứ diện trùng nhau.

$\log_{2}(x^{2}+3)+\log_{\frac{1}{2}}5=2\log_{\frac{1}{4}}(x-1)-\log_{2}(x+1)$

Giải phương trình:      $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{2+\cos2x+\sqrt{3}\sin2x }  $

Cho hàm số $f(x)$ liên tục trong $(1 ;  + \infty )$và thỏa mãn điều kiện
    $f(xy) = xf(y) + yf(x),\forall x,y > 1$                (1)
Chứng minh rằng, với mọi $k > 0$ và mọi $x > 1$ ta có
    $f(x^k) = k.x^{k - 1}f(x)$                        (2)

a) Vì $M \in Ox$ nên $M=(x;0)$. Khi đó $\overrightarrow{MA} =(1-x;3)$ và $\overrightarrow{MB} =(4-x;2)$.
Ta phải tìm số $k$ sao $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB} \Leftrightarrow  \left\{ \begin{array}{l} 1-x=k(4-x)\\ 3=k2 \end{array} \right. $
Suy ra $k=\frac{3}{2}$. Vậy điểm $M$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $\frac{3}{2}$
Làm tương tự ta có điểm $N$ chia đoạn thẳng $AB$ theo tỉ số$  \frac{1}{4}$
b) Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có $\frac{EA}{EB}=\frac{OA}{OB}=\frac{\sqrt{2 } }{2}$
Vì điểm $E$ nằm giữa hai điểm $A,B$ nên
$\overrightarrow{EA}=-\frac{\sqrt{ 2} }{2}\overrightarrow{EB}$, như vậy điểm $E$ chia đoạn thẳng $AB$ tỉ số
$k=-\frac{\sqrt{2 } }{2}$. Tọa độ của điểm $E$ là:
$x_E=\frac{1+\frac{2}{2}.4}{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}=-2+3\sqrt{2};      y_E=\frac{3+\frac{\sqrt{2} }{2}.3}{1+\frac{\sqrt{ 2} }{2} } =4-\sqrt{2 } $
Vậy $E=(-2+3\sqrt{2 } ;4-\sqrt{ 2} )$ 

Giải hệ phương trình $\begin{cases}\sqrt{2}\cos x=1+\cos y  \\ \sqrt{2}\sin x=\sin y  \end{cases} $ 

$a.$ Vì $mp(SAB)\bot mp(ABCD)$ và $AD\bot AB,AD\bot (SAB)$ từ đó $(SAD)\bot (SAB)$
$b.$ Vì $AB//CD$ nên góc giữa $AB$ và $SC$ bằng góc giữa $CD$ và $SC$.Ta cần tính góc $\widehat{SCD} $
Gọi $a$ là cạnh hình vuông $ABCD$ ta có : $SA=a$ nên $SC=a\sqrt{2},SD=a\sqrt{2},CD=a  $
Vậy $SD^2=CS^2+CD^2-2CS.CDcos\widehat{SCD} $ hay $2a^2=2a^2+a^2-2.a\sqrt{2}cos\widehat{SCD}  $
suy ra $cos\widehat{SCD}=\frac{1}{2\sqrt{2} }  $
Vậy góc giữa $SC$ và $AB$ bằng $\alpha$ với $cos\alpha=\frac{1}{2\sqrt{2} } $

Cho hàm số $f(x) = x^2 + bx  +  1$. Với $b \in ( 3;\frac{7}{2})$ . Giải bất phương trình $f[ f(x)] > x$