d, +, Tính khoảng cách giữa AB và SC

Ta có   $AB//CD\Rightarrow AB//(SCD)\Rightarrow d(AB,SC)=d(AB,(SCD))=d(A,(SCD)$

Lại có $AJ  \bot  (SCD)\Rightarrow d(A,(SCD)=AJ$

xét tam giác SAD có:  $\frac{1}{AJ^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{6a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{7}{6a^2}\Rightarrow AJ^2=\frac{6a^2}{7}\Rightarrow AJ=\frac{a\sqrt{42}}{7}$

Vậy  $d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{42}}{7}$

+, Tính khoảng cách giữa AD và SC

Tương tự ta cúng có  $d(AD,SC)=d(A,(SBC))=AI=\frac{a\sqrt{42}}{7}$.

c, Ta có +, $SA  \bot  (ABCD)\Rightarrow $  góc giữa SC và (ABCD) là góc $\widehat{SCA}=60^0$

+, $BC  \bot  (SAB)\Rightarrow $ góc giữa SC và (SAB) là  $\widehat{BSC}$

Xét tam giac SBC vuông tại B có:  $\tan \widehat{BSC} =\frac{BC}{SB}$  (1)

+, Xét tam giác SCA vuông tại A có  $SA=AC.\tan \widehat{SCA}=a\sqrt{2}.\sqrt{3}=a\sqrt{6}$

$\Rightarrow SB=\sqrt{SA^2+AB^2}=\sqrt{6a^2+a^2}=a\sqrt{7}$

Vậy thay vào  (1) ta đc: $\tan \widehat{BSC}=\frac{a}{a\sqrt{7}}=\frac{1}{\sqrt{7}}\Rightarrow\widehat{BSC}=20^042' $

b, Ta có $BC  \bot  (SAB)\Rightarrow (SBC)  \bot  (SAB)$

Mà  $(SBC)\cap (SAB)=SB$  nên do $AI  \bot  SB\Rightarrow AI  \bot  (SBC)\Rightarrow AI  \bot  SC    (1)$

Tương tự ta cũng có $AJ  \bot  (SCD)\Rightarrow AJ  \bot  SC  (2)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow SC  \bot  (AIJ)\Rightarrow (SAC)  \bot  (AIJ)$  (đpcm)

a, Ta có $\left.\begin{matrix}(SAB)  \bot  (ABCD) \\(SAD)  \bot  (ABCD) \\(SAB)\cap (SAD)=SA \end{matrix}\right\}\Rightarrow SA  \bot  (ABCD)$

$\Rightarrow SA  \bot AD,  SA  \bot  AB \Rightarrow \Delta SAB$ vuông tại A, $\Delta SAD$ vuông tại A

+, Ta có $\left.\begin{matrix} CD  \bot  AD\\CD   \bot  SA \end{matrix}\right\}\Rightarrow CD  \bot  (SAD)\Rightarrow CD  \bot SD\Rightarrow \Delta SCD$  vuông tại D

+ Ta có $\left.\begin{matrix}CB  \bot  AB \\CB  \bot  SA \end{matrix}\right\}\Rightarrow CB  \bot  (SAB)\Rightarrow CB  \bot  SB\Rightarrow \Delta SBC$ vuôg tại B

b, Ta có $f'(x)=4\sin x\Leftrightarrow \frac{1+\sin x}{\cos^2x}=4\sin x\Leftrightarrow 1+\sin x=4\sin x.\cos^2x$

$\Leftrightarrow 4\sin x.(1-\sin^2x)-\sin x=1\Leftrightarrow 3\sin x-4\sin^3x=1\Leftrightarrow \sin3x=1$

$\Leftrightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},  k\in Z$

Ta có $f'(x)=\frac{1}{\cos^2x}+\frac{\sin x}{\cos^2x}$

$f(\frac{\pi}{3})=\sqrt{3}+2$

$ \frac{1}{f'(\frac{\pi}{6})}=\frac{1}{2}$

Vậy $E=\sqrt{3}+\frac{5}{2}$

Đặt  $f(x)=(m^2+1)x^3-2m^2x^2-4x+m^2+1\Rightarrow  f(x)$  liên tục trên R

+, Ta có  $f(-1)=-2m^2+4=-2(m^2+2)<0, \forall m$

$f(0)=m^2+1>0$

$\Rightarrow f(-1).f(0)<0,\forall m\Rightarrow f(x)=0$ có ít nhât 1 nghiệm trong khoảng (-1,0)

+, Ta có $f(0)>0,  f(1)=-2\Rightarrow f(0).f(1)<0\Rightarrow  f(x)=0$ có ít nhât 1 nghiệm trong khoảng (0,1)

+, Ta có  $f(1)=-2,  f(2)=m^2+1>0, \forall m\Rightarrow f(1).f(2)<0, \forall m\Rightarrow f(x)=0$  có ít nhât 1 nghiệm trong khoảng (1,2)

Vây pt f(x)=0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt  trong khoảng (-1,2)

+, Xác định góc giữa (SAB) và (SCD)

Trong mp(SAB), (SCD)

Kẻ Sx // AB // CD $\Rightarrow Sx=(SAB) \cap (SCD)$ (vì Sx đều thuộc 2 mp này)

Ta có $\left.\begin{matrix}Sx//AB \\AB  \bot  (SAD) \end{matrix}\right\}\Rightarrow Sx \bot  (SAD)\Rightarrow Sx  \bot  SA,  Sx  \bot  SD\Rightarrow $ góc giữa (SAB) và (SCD) chính là góc giữa SA và SD là góc $\widehat{ASD}$

Xét tam giác vuông SAD có $\tan \widehat{ASD}=\frac{AD}{SA}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ASD}=30^0$

Làm lại câu c
+, Xác định góc giữa SB và (SAC)

Ta có  $\left.\begin{matrix}BO  \bot  AC \\BO  \bot  SA \end{matrix}\right\}\Rightarrow BO  \bot  (SAC)\Rightarrow $ SO chính là hình chiếu của SB trên (SAC) $\Rightarrow $ góc giữa SB và (SAC) là góc $\widehat{BSO}.$ Tính $\widehat{OSD}$ thì đơn giản rồi

b, Tính d(A,(SCD))

Ta có $CD  \bot (SAC)\Rightarrow (SCD)  \bot  (SAC)$. Mà $(SCD)\cap (SAC)=SC$. Gọi $I$ là hình chiếu của A trê SC $\Rightarrow AI  \bot  SC\Rightarrow AI  \bot  (SCD)$
Vậy d(A,(SCD))=AI
dựa vào tam giác vuông SAC ta tính đc AI=a.
Vậy d(A,(SCĐ))=a

a, Gọi M là trung điểm của AD $\Rightarrow $ AM=a.
Hình bình hành ABCM có AB=AM=a nên là hình thoi. Lại có $\widehat{A}=\widehat{D}=90^0\Rightarrow ABCM$ là hình vuông nên CM=a
Xét tam giác ACD có $CM=a=\frac{1}{2}AD\Rightarrow \Delta ACD$ vuông tại C $\Rightarrow CD \bot AC$. Lại có  $CD  \bot  SA\Rightarrow CD  \bot  (SAC)\Rightarrow CD  \bot  SC\Rightarrow  \Delta SCD$  vuông tại C

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tị A và B. BA=BC=a, AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và  SA=$a\sqrt{2}$. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB.
a, CM tam giác SCD vuông
b, Tính d(A,(SCD)), d(H,(SCD))

$y'=\frac{-5}{(x-1)^2}$
Ta có $y_0=\frac{11}{2}\Rightarrow $ Ta có pt: $\frac{3x_0+2}{x_0-1}=\frac{11}{2}\Leftrightarrow 2(3x_0+2)=11(x_0-1)\Leftrightarrow 5x_0-15=0\Leftrightarrow x_0=3 \Rightarrow y'(3)=\frac{-5}{4}$

Vậy pttt là: $y=\frac{-5}{4}(x-3)+\frac{11}{2}=-\frac{5}{4}x+\frac{37}{4}$