Giải phương trình: $$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-3x\right)\right)=\dfrac{\left(\sin x+\cos x\right)^2-2\sin^3x}{1+\cot^2x}$$

Giải phương trình: $$1+\cot2x=\dfrac{1-\cos2x}{\sin^22x}$$

Giải phương trình: $$\cos3x+3\cos x+4\cos^2x+8\sin x-8=0$$

Cho $0<x,\,y\leq1$ thỏa mãn $x+y=4xy.$ Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của: $$P=x^2+y^2-7xy$$

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A,\,BC=a\sqrt{2},$ $AA'=2a$ và $A'$ cách đều $A,\,B,\,C;\,M$ và $N$ là trung điểm của $AA'$ và $AC.$ Tính thể tích khối chóp $C'BMN$ và khoảng cách từ $C'$ đến $(BMN).$

Cho lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có tất cả các cạnh bằng $a.$ Hình chiếu vuông góc của $B$ lên $(A'B'C')$ là trung điểm $H$ của $A'B',\,E$ là trung điểm của $AC.$ Tính thể tích khối chóp $EHB'C'$ và khoảng cách từ $B$ đến $(ACC'A').$

Cho lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi cạnh $a,\,\widehat{ABC}=60^o,$ $ (A'BD)$ tạo với $(ABCD)$ góc $60^o.$ Tính thể tích của lăng trụ và khoảng cách từ $D'$ đến $(A'BD).$

Cho lăng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi cạnh $a,\widehat{BAD}=60^o,$ $AC'=2a,\,O$ là giao điểm của $BD$ và $AC,\,E$ là giao điểm của $A'O$ và $AC'.$ Tính thể tích hình chóp $EABD$ và khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(BDE).$