$I=\int\frac{dx}{\cos^4x(\tan^4x+1)}=\int\frac{(1+\tan^2x)dx}{\cos^2x(\tan^4x+1)}$ $I=\int\frac{(1+t^2)dt}{1+t^4}=\int\frac{(\frac 1{t^2}+1)dt}{\frac 1{t^2}+t^2}=\int\frac{(\frac 1{t^2}+1)dt}{(t-\frac 1{t})^2-2}$ $I=\int\frac{du}{u^2-2}$ Tích phân phân thức bình thường.
$I=\int\frac{dx}{\cos^4x(\tan^4x+1)}=\int\frac{(1+\tan^2x)dx}{\cos^2x(\tan^4x+1)}$ $I=\int\frac{(1+t^2)dt}{1+t^4}=\int\frac{(\frac 1{t^2}+1)dt}{\frac 1{t^2}+t^2}=\int\frac{(\frac 1{t^2}+1)dt}{(t-\frac 1{t})^2+2}$ $I=\int\frac{du}{u^2+2}$ Tích phân bình thường.