$Pt : x² + 2ax + b = 0 (1)$ có $\triangle ^{'} = a² - b$ $Pt : x² + 2bx + a = 0 (2)$ có $\triangle ^{'} = b² - a $Xét : $a² - b + b² - a = \frac{(a+b)^2}{2} - (a + b) + (a - b)² = \frac{1}{2}(a + b)(a + b - 2) + (a - b)² ≥ 0$ Như vậy Ta có : $a² - b ≥ 0$ hoặc $b² - a ≥ 0 \Rightarrow $ pt(1) có nghiệm hoặc pt(2) có nghiệm.Vậy trong hai pt luôn có ít nhất 1 pt có nghiệm

$Pt : x² + 2ax + b = 0 (1)$ có $\triangle ^{'} = a² - b$ $Pt : x² + 2bx + a = 0 (2)$ có $\triangle ^{'} = b² - a $Xét : $a^2 - b + b^2 - a = \frac{(a+b)^2}{2} - (a + b) + \frac{(a - b)^2}{2} = \frac{1}{2}(a + b)(a + b - 2) +\frac{ (a - b)^2 }{2}≥ 0$ Như vậy Ta có : $a^2 - b ≥ 0$ hoặc $b^2 - a ≥ 0 \Rightarrow $ pt(1) có nghiệm hoặc pt(2) có nghiệm.Vậy trong hai pt luôn có ít nhất 1 pt có nghiệm

HSG

1,Cho các số a, b,c thỏa mãn điều kiện: a+b+c=0 và $a^2+b^2+c^2=14$.Hãy tính giá trị biểu thức $P=1+a^4+b^4+c^4$.2,Giải hệ phương trinh: $2x^3+3yx^2=5$và $y^3+6xy^2=7$3,Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện : xy+yz+zx=1Tính $T=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}$4,Cho 2 dãy số cùng chiều: $a_1\leq a_2\leq a_3$ ; $b_1\leq b_2\leq b_3$. Chứng minh rằng : $(a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)\leq3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)$Áp dụng chứng minh rằng: Với 0\leqa\leqb\leqc thì: $\frac{a^2005+b^2005+c^2005}{a^2006+b^2006+c^2006}\leq\frac{3}{a+b+c}$5,Cho các số x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=1$. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}(x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2)$6, Cho x, y, z∈R thỏa mãn :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$.tính giá trị của biểu thức: $M=\frac{3}{4}+(x^8-y^8)(y^9+z^9)(z^10-x^10)$.7,Giải hệ phương trình: $x^2y-2x+3y^2=0$và $x^2+y^2x+2y=0$8, Cho x, y, z>0 thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^2+x^2}}{zx}$

Bất đẳng thức

Hệ phương trình

HSG

1,Cho các số a, b,c thỏa mãn điều kiện: $a+b+c=0$ và $a^2+b^2+c^2=14$.Hãy tính giá trị biểu thức $P=1+a^4+b^4+c^4$.2,Giải hệ phương trinh: $\begin{cases}2x^3+3yx^2=5 \\ y^3+6xy^2=7\end{cases}$3,Cho 3 số dương $x, y, z$ thỏa mãn điều kiện : $xy+yz+zx=1$Tính $T=x\sqrt{\frac{(1+y^2)(1+z^2)}{1+x^2}}+y\sqrt{\frac{(1+z^2)(1+x^2)}{1+y^2}}+\sqrt{\frac{(1+x^2)(1+y^2)}{1+z^2}}$4,Cho 2 dãy số cùng chiều: $a_1\leq a_2\leq a_3$ ; $b_1\leq b_2\leq b_3$. Chứng minh rằng : $(a_1+a_2+a_3)(b_1+b_2+b_3)\leq3(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3)$Áp dụng chứng minh rằng: Với $0\leq a\leq b\leq c$ thì: $\frac{a^{2005}+b^{2005}+c^{2005}}{a^{2006}+b^{2006}+c^{2006}}\leq\frac{3}{a+b+c}$5,Cho các số $x, y, z$ thay đổi thỏa mãn điều kiện: $x^2+y^2+z^2=1$. tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $P=xy+yz+xz+\frac{1}{2}(x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2)$6, Cho $x, y, z \in R$ thỏa mãn :$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$.tính giá trị của biểu thức: $M=\frac{3}{4}+(x^8-y^8)(y^9+z^9)(z^10-x^10)$.7,Giải hệ phương trình: $\begin{cases}x^2y-2x+3y^2=0 \\ x^2+y^2x+2y=0 \end{cases}$8, Cho $x, y, z>0$ thỏa mãn $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\sqrt{3}$Tìm GTNN của biểu thức : $P=\frac{\sqrt{2x^2+y^2}}{xy}+\frac{\sqrt{2y^2+z^2}}{yz}+\frac{\sqrt{2z^2+x^2}}{zx}$

Bất đẳng thức

Hệ phương trình