Áp dạng bđt côsi cho các cặp số dương,ta có : $\frac{4ab}{a+2b}+\frac{a+2b}{ab} \geq 2\sqrt{\frac{4ab(a+2b)}{ab(a+2b)}}=4$ $\frac{9ac}{a+4c}+\frac{a+4c}{ac}\ge 6$ $\frac{4bc}{b+c}+\frac{b+c}{bc} \ge 4$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Cộng 3 bđt lại ~~~~~~~~~~~~~~~$\Rightarrow \frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}+\frac{a+2b}{ab}+\frac{a+4c}{ac}+\frac{b+c}{bc}\ge 4+6+4$$\Leftrightarrow C+\frac{1}{b}+\frac{2}{a}+\frac{1}{c}+\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 14$$\Leftrightarrow C+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c} \geq 14$$\Leftrightarrow C+\frac{2ac+6bc+2bc}{abc}\ge 14\Leftrightarrow C+7\geq 14 \Leftrightarrow C \ge 7$Vậy : $\color{red}{GTNN \hspace{1mm} \text{của} \hspace{1mm} C \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} 7 \hspace{1mm} khi \hspace{1mm} a=2;b=c=1}$

Áp dụng bđt côsi cho các cặp số dương,ta có : $\frac{4ab}{a+2b}+\frac{a+2b}{ab} \geq 2\sqrt{\frac{4ab(a+2b)}{ab(a+2b)}}=4$ $\frac{9ac}{a+4c}+\frac{a+4c}{ac}\ge 6$ $\frac{4bc}{b+c}+\frac{b+c}{bc} \ge 4$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Cộng 3 bđt lại ~~~~~~~~~~~~~~~$\Rightarrow \frac{4ab}{a+2b}+\frac{9ac}{a+4c}+\frac{4bc}{b+c}+\frac{a+2b}{ab}+\frac{a+4c}{ac}+\frac{b+c}{bc}\ge 4+6+4$$\Leftrightarrow C+\frac{1}{b}+\frac{2}{a}+\frac{1}{c}+\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \geq 14$$\Leftrightarrow C+\frac{6}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c} \geq 14$$\Leftrightarrow C+\frac{2ac+6bc+2bc}{abc}\ge 14\Leftrightarrow C+7\geq 14 \Leftrightarrow C \ge 7$Vậy : $\color{red}{GTNN \hspace{1mm} \text{của} \hspace{1mm} C \hspace{1mm} \text{là} \hspace{1mm} 7 \hspace{1mm} khi \hspace{1mm} a=2;b=c=1}$

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ Ta lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} \sqrt{2}{x(y+z)} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)

Theo bđt $Nesbit: \frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y} \geq \frac{3}{2} (*)$ Ta lại có: $x+(y+z) \overset{AM-GM}{\geq} 2\sqrt{{x(y+z)}} $$\Leftrightarrow \sqrt{x}(x+y+z) \geq 2x\sqrt{y+z}$$ \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Tương tự$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{y}{x+z}} \geq \frac{2y}{x+y+z}$;$\Leftrightarrow \sqrt{\frac{z}{x+y}} \geq \frac{2x}{x+y+z}$Cộng 3 Bđt$\Rightarrow \sqrt{\frac{x}{y+z}} + \sqrt{\frac{y}{x+z}}+ \sqrt{\frac{z}{x+y}}>\frac{2(x+y+z)}{x+y+z}=2(**)$(ở đây đẳng thức ko thể xảy ra vì 3 bđt trên ko đồng thời xảy ra dấu =)Từ$(*),(**)\Rightarrow VT >\frac{3}{2}+2>3$ (đpcm)

đặt $3x^2+5x+1=a$ $pt \Leftrightarrow \begin{cases}a\geq0 \\ \sqrt{a+7}-\sqrt{a}=1= \end{cases}\Leftrightarrow $$\begin{cases}a \geq0 \\ a+7=1+a+2\sqrt{a}\end{cases}$$ \Rightarrow a=9$$\Rightarrow 3x^2+5x+1=9\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{-8}{3}$

đặt $3x^2+5x+1=a$ $pt \Leftrightarrow \begin{cases}a\geq0 \\ \sqrt{a+7}-\sqrt{a}=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a \geq0 \\ a+7=1+a+2\sqrt{a}\end{cases} \Rightarrow a=9$$\Rightarrow 3x^2+5x+1=9\Rightarrow x=1$ hoặc $x=\frac{-8}{3}$

giai phuong trinh

giai phuong trinh \sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}=2x^{2}+2x+2

Phương trình mũ

giai phuong trinh

Giải pt:$ \sqrt{3x^{3}+2x^{2}+2}+\sqrt{-3x^{3}+x^{2}+2x-1}=2x^{2}+2x+2$

Phương trình vô tỉ

Đại 10 Hệ pt đối xứng loại 2

a. $$\begin{cases}2x=y^2 - 4y + 5 \\ 2y=x^2 - 4x + 5 \end{cases}$$ b. $$\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \end{cases}$$ c. $$\begin{cases}x+\sqrt{1-y^2}=1 \\ y+\sqrt{1-x^2}=1 \end{cases}$$ d. $$\begin{cases}\sqrt{3+x^2}+2\sqrt{x}=3+\sqrt{y} \\ \sqrt{3+y^2}+2\sqrt{y}=3+\sqrt{x} \end{cases}$$

Hệ phương trình

Hệ phương trình đối xứng

Đại 10 Hệ pt đối xứng loại 2

a. $ $$\begin{cases}2x=y^2 - 4y + 5 \\ 2y=x^2 - 4x + 5 \end{cases}$$ $b. $ $$\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x}}+\sqrt{2-\frac{1}{y}}=2 \\ \frac{1}{\sqrt{y}}+\sqrt{2-\frac{1}{x}}=2 \end{cases}$$ $c. $ $$\begin{cases}x+\sqrt{1-y^2}=1 \\ y+\sqrt{1-x^2}=1 \end{cases}$$ $d. $ $$\begin{cases}\sqrt{3+x^2}+2\sqrt{x}=3+\sqrt{y} \\ \sqrt{3+y^2}+2\sqrt{y}=3+\sqrt{x} \end{cases}$$ $

Hệ phương trình

Hệ phương trình đối xứng

Nếu đề cho $x,y$ là các số nguyên thì làm như sau$pt \Leftrightarrow 8x^2-4xy-y^2+12x-20=0$$\Leftrightarrow9x^2+12x-20-(x^2+4xy+4y^2)=0$$\Leftrightarrow(9x^2+12x+4)-(x^2+4xy+4y^2)=24$$\Leftrightarrow(3x+2)^2-(x+2y)^2=24$$\Leftrightarrow(3x+2-x-2y)(3x+2+x+2y)=24$$\Leftrightarrow(2x-2y+2)(4x+2y+2)=24$$\Leftrightarrow(x-y+1)(2x+y+1)=6=1.6=(-1).(-6)=2.3=(-2).(-3)$Vì $2x-y+1;x+y+1$ là các số nguyênTa có các trường hợp $(1) : \begin{cases}x-y+1=1 \\ 2x+y+1=6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{5}{3} \\ y= \frac{5}{3}\end{cases}$$(2):\begin{cases}x-y+1=6 \\ 2x+y+1=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{5}{3} \\ y=\frac{-10}{3} \end{cases}$$(3):\begin{cases}x-y+1=-1 \\ 2x+y+1=-6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$$(4):\begin{cases}x-y+1=-6 \\ 2x+y+1=-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=4 \end{cases}$$(5): \begin{cases}x-y+1=2 \\ 2x+y+1=3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\ y=0 \end{cases}$$(6):\begin{cases}x-y+1=3\\ 2x+y+1=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=-1 \end{cases}$$(7):\begin{cases}x-y+1=-2 \\ 2x+y+1=-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$$(8):\begin{cases}x-y+1=-3 \\ 2x+y+1=-2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{5}{3} \end{cases}$Các loại trường hợp $(1);(2);(7);(8)$ vì $x,y$ ko nguyênVậy ta có 4 cặp $(x,y)$ thõa mãn là : $(-3,-1);(-3,4);(1,0);(1,-1)$

Nếu đề cho $x,y$ là các số nguyên thì làm như sau$pt \Leftrightarrow 8x^2-4xy-y^2+12x-20=0$$\Leftrightarrow9x^2+12x-20-(x^2+4xy+4y^2)=0$$\Leftrightarrow(9x^2+12x+4)-(x^2+4xy+4y^2)=24$$\Leftrightarrow(3x+2)^2-(x+2y)^2=24$$\Leftrightarrow(3x+2-x-2y)(3x+2+x+2y)=24$$\Leftrightarrow(2x-2y+2)(4x+2y+2)=24$$\Leftrightarrow(x-y+1)(2x+y+1)=6=1.6=(-1).(-6)=2.3=(-2).(-3)$Vì $2x-y+1;x+y+1$ là các số nguyênTa có các trường hợp $(1) : \begin{cases}x-y+1=1 \\ 2x+y+1=6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{5}{3} \\ y= \frac{5}{3}\end{cases}$$(2):\begin{cases}x-y+1=6 \\ 2x+y+1=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{5}{3} \\ y=\frac{-10}{3} \end{cases}$$(3):\begin{cases}x-y+1=-1 \\ 2x+y+1=-6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$$(4):\begin{cases}x-y+1=-6 \\ 2x+y+1=-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=4 \end{cases}$$(5): \begin{cases}x-y+1=2 \\ 2x+y+1=3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\ y=0 \end{cases}$$(6):\begin{cases}x-y+1=3\\ 2x+y+1=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=-1 \end{cases}$$(7):\begin{cases}x-y+1=-2 \\ 2x+y+1=-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$$(8):\begin{cases}x-y+1=-3 \\ 2x+y+1=-2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{5}{3} \end{cases}$Loại các trường hợp $(1);(2);(7);(8)$ vì $x,y$ ko nguyênVậy ta có 4 cặp $(x,y)$ thõa mãn là : $(-3,-1);(-3,4);(1,0);(1,-1)$

Nếu đề cho $x,y$ là các số nguyên thì làm như sau$pt \Leftrightarrow 8x^2-4xy-y^2+12x-20=0$$\Leftrightarrow9x^2+12x-20-(x^2+4xy+4y^2)=0$$\Leftrightarrow(9x^2+12x+4)-(x^2+4xy+4y^2)=24$$\Leftrightarrow(3x+2)^2-(x+2y)^2=24$$\Leftrightarrow(3x+2-x-2y)(3x+2+x+2y)=24$$\Leftrightarrow(2x-2y+2)(4x+2y+2)=24$$\Leftrightarrow(x-y+1)(2x+y+1)=6=1.6=(-1).(-6)=2.3=(-2).(-3)$Vì $2x-y+1;x+y+1$ là các số nguyênTa có các trường hợp $(1) : \begin{cases}x-y+1=1 \\ 2x+y+1=6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{5}{3} \\ y= \frac{5}{3}\end{cases}$$(2):\begin{cases}x-y+1=6 \\ 2x+y+1=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{5}{3} \\ y=\frac{-10}{3} \end{cases}$$(3):\begin{cases}x-y+1=-1 \\ 2x+y+1=-6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$$(4):\begin{cases}x-y+1=-6 \\ 2x+y+1=-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=4 \end{cases}$$(5): \begin{cases}x-y+1=2 \\ 2x+y+1=3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\ y=0 \end{cases}$$(6):\begin{cases}x-y+1=3\\ 2x+y+1=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=-1 \end{cases}$$(7):\begin{cases}x-y+1=-2 \\ 2x+y+1=-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$$(8):\begin{cases}x-y+1=-3 \\ 2x+y+1=-2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{5}{3} \end{cases}$Các loại trường hợp $(1);(2);(7);(8)$ vì $x,y$ ko dươngVậy ta có 4 cặp $(x,y)$ thõa mãn là : $(-3,-1);(-3,4);(1,0);(1,-1)$

Nếu đề cho $x,y$ là các số nguyên thì làm như sau$pt \Leftrightarrow 8x^2-4xy-y^2+12x-20=0$$\Leftrightarrow9x^2+12x-20-(x^2+4xy+4y^2)=0$$\Leftrightarrow(9x^2+12x+4)-(x^2+4xy+4y^2)=24$$\Leftrightarrow(3x+2)^2-(x+2y)^2=24$$\Leftrightarrow(3x+2-x-2y)(3x+2+x+2y)=24$$\Leftrightarrow(2x-2y+2)(4x+2y+2)=24$$\Leftrightarrow(x-y+1)(2x+y+1)=6=1.6=(-1).(-6)=2.3=(-2).(-3)$Vì $2x-y+1;x+y+1$ là các số nguyênTa có các trường hợp $(1) : \begin{cases}x-y+1=1 \\ 2x+y+1=6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{5}{3} \\ y= \frac{5}{3}\end{cases}$$(2):\begin{cases}x-y+1=6 \\ 2x+y+1=1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{5}{3} \\ y=\frac{-10}{3} \end{cases}$$(3):\begin{cases}x-y+1=-1 \\ 2x+y+1=-6 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=-1 \end{cases}$$(4):\begin{cases}x-y+1=-6 \\ 2x+y+1=-1 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=-3 \\ y=4 \end{cases}$$(5): \begin{cases}x-y+1=2 \\ 2x+y+1=3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1\\ y=0 \end{cases}$$(6):\begin{cases}x-y+1=3\\ 2x+y+1=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=-1 \end{cases}$$(7):\begin{cases}x-y+1=-2 \\ 2x+y+1=-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{1}{3} \end{cases}$$(8):\begin{cases}x-y+1=-3 \\ 2x+y+1=-2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x= \frac{-7}{3}\\ y=\frac{5}{3} \end{cases}$Các loại trường hợp $(1);(2);(7);(8)$ vì $x,y$ ko nguyênVậy ta có 4 cặp $(x,y)$ thõa mãn là : $(-3,-1);(-3,4);(1,0);(1,-1)$

Vô tỉ (làm = cách đặt ẩn phụ hoặc bđt càng tốt nha ^^)

$a)\sqrt{4x+1}=x^3-5$$b)\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-2}+x^2-x-5=0$$c) \sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6$$d)\sqrt[3]{x}+x^3-3x^2+4x-3=0$$e)(4x-1)\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+1$$f)(2-2x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$$g) 2(x^2-2x)=3\sqrt{x^3+1}$$h)x^2+3\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x^4-x^2+1}=0$

Phương trình vô tỉ

Vô tỉ (làm = cách đặt ẩn phụ hoặc bđt càng tốt nha ^^)

$a)\sqrt{4x+1}=x^3-5$$b)\sqrt{x-1}+\sqrt{3x-2}+x^2-x-5=0$$c) \sqrt{2x-3}-\sqrt{x}=2x-6$$d)\sqrt[3]{x}+x^3-3x^2+4x-3=0$$e)(4x-1)\sqrt{x^2+1}=2x^2+2x+1$$f)(2-2x)\sqrt{x^2+2x-1}=x^2-2x-1$$g) 2(x^2-2x)=3\sqrt{x^3+1}$$h)x^2+3\sqrt{x^2-1}=\sqrt{x^4-x^2+1}$

Phương trình vô tỉ

help me!!!!

4xx^{2}+(4x-3)\sqrt{x-1} =5(x+1)

Phương trình vô tỉ

help me!!!!

$4x^{2}+(4x-3)\sqrt{x-1} =5(x+1)$

Phương trình vô tỉ

giúp đi mọi người

tìm giá trị lớn nhất của M biết M= 14+2x-2x^2

GTLN, GTNN

giúp đi mọi người

tìm giá trị lớn nhất của $M$ biết $M= 14+2x-2x^2$

GTLN, GTNN

giải và biện luận pt theo tham số m

(m^{2}+2)x-2m=x-3

Giải và biện luận phương...

giải và biện luận pt theo tham số m

$(m^{2}+2)x-2m=x-3$

Giải và biện luận phương...

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác

C/m $\frac{1}{(a+b-c)^n}+\frac{1}{(a-b+c)^n}+\frac{1}{(-a+b+c)^n}=\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}$

Bất đẳng thức

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh của 1 tam giác

C/m $\frac{1}{(a+b-c)^n}+\frac{1}{(a-b+c)^n}+\frac{1}{(-a+b+c)^n} \geq \frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}$

Bất đẳng thức

Hình 10 Tìm tập hợp điểm

Cho tam giác ABCa. Xác định điểm I sao cho: IA - 3IB - 2IC = 0b. Xác định điểm D sao cho 3DB - 2DC = 0c. Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàngd. Tìm tập hợp điểm M sao cho | MA + 3MB - 2MC | = | 2MA - MB - MC |( Tất cả đều là vectơ)

Vec-tơ

Hình 10 Tìm tập hợp điểm

Cho tam giác $ABC$a. Xác định điểm I sao cho: $\vec{IA} - 3\vec{IB} - 2\vec{IC} = \vec{0}$b. Xác định điểm D sao cho $3\vec{DB} - \vec{2DC} = \vec{0}$c. Chứng minh $3$ điểm $A, I, D $thẳng hàngd. Tìm tập hợp điểm $M$ sao cho $| \vec{MA} + 3\vec{MB} - 2\vec{MC} | = | 2\vec{MA} - \vec{MB} - \vec{MC} |$

Vec-tơ

$A=x^2+9y^2-6xy+4x-12y+4+x^2-10x+25+1975$$=(x-3y+2)^2+(x-5)^2+1979 \geq 1979$Dấu$"="$xảy ra khi$ $$\begin{cases}x-3y+2=0 \\ x-5=0 \end{cases}$$ \Leftrightarrow $$\begin{cases}x=5 \\ y= \frac{7}{3}\end{cases}$$ $

$A=x^2+9y^2-6xy+4x-12y+4+x^2-10x+25+1975$$=(x-3y+2)^2+(x-5)^2+1975 \geq 1975$Dấu$"="$xảy ra khi$ $$\begin{cases}x-3y+2=0 \\ x-5=0 \end{cases}$$ \Leftrightarrow $$\begin{cases}x=5 \\ y= \frac{7}{3}\end{cases}$$ $

$A=x^2+9y^2-6xy+4x-12y+4+x^2-10x+25+1979$$=(x-3y+2)^2+(x-2)^2+1979 \geq 1979$Dấu$"="$xảy ra khi$\begin{cases}x-3y+2=0 \\ x-2=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=2 \\ y= \frac{4}{3}\end{cases}$

$A=x^2+9y^2-6xy+4x-12y+4+x^2-10x+25+1975$$=(x-3y+2)^2+(x-5)^2+1979 \geq 1979$Dấu$"="$xảy ra khi$\begin{cases}x-3y+2=0 \\ x-5=0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=5 \\ y= \frac{7}{3}\end{cases}$