1)Nhận thấy $x=0$ ko là nghiệm của ptChia 2 vế cho $x \ne0 $, ta đc :$x^2+ax+b +ax+b + \frac ax + \frac 1{x^2}=0 \Leftrightarrow (x+ \frac 1x)^2 + a(x + \frac 1x) + b-2 =0$Xem đây là tam thức bậc 2 ẩn $(x + \frac 1x)$Để pt có nghiệm thì $\Delta \ge0\Leftrightarrow a^2-4(a-2) \ge0\Leftrightarrow a^2+b^2 \ge b^2+4a-8$Tới đây chắc bạn tự làm đc2)$A^2=(\frac 1{a^2} + \frac 4{b^2}+ \frac 9{c^2})+( \frac 4{ab}+ \frac {12}{bc} + \frac 6{ca})$$= \left[ (\frac 5{8a^2}+ \frac {18}{5b^2})+( \frac 3{8a^2}+\frac{243}{32c^2})+(\frac{45}{32c^2}+\frac2{5b^2}) \right]+( \frac 4{ab}+ \frac {12}{bc} + \frac 6{ca})$$\overset{ Côsi}{ \ge} ( \frac 3{ab}+\frac{27}{8ac}+\frac 3{2bc})+( \frac 4{ab}+ \frac {12}{bc} + \frac 6{ca})$$= \frac 7{ab} + \frac{75}{8ca}+\frac{27}{2bc}=\frac {7.21}{21ab} + \frac{75}{8ca}+\frac{27}{2bc}$$ \overset{C-S}{ \ge } \frac{( 7\sqrt 3+5 \sqrt 3 +3 \sqrt 3)^2}{21ab+8ca+2bc} \ge \frac{(15 \sqrt 3)^2}{12}= \frac{225}4$Từ đó suy ra $A \ge \frac{15}2$Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a = \frac 13, b =\frac 45, c= \frac 32$

2)$A^2=(\frac 1{a^2} + \frac 4{b^2}+ \frac 9{c^2})+( \frac 4{ab}+ \frac {12}{bc} + \frac 6{ca})$$= \left[ (\frac 5{8a^2}+ \frac {18}{5b^2})+( \frac 3{8a^2}+\frac{243}{32c^2})+(\frac{45}{32c^2}+\frac2{5b^2}) \right]+( \frac 4{ab}+ \frac {12}{bc} + \frac 6{ca})$$\overset{ Côsi}{ \ge} ( \frac 3{ab}+\frac{27}{8ac}+\frac 3{2bc})+( \frac 4{ab}+ \frac {12}{bc} + \frac 6{ca})$$= \frac 7{ab} + \frac{75}{8ca}+\frac{27}{2bc}=\frac {7.21}{21ab} + \frac{75}{8ca}+\frac{27}{2bc}$$ \overset{C-S}{ \ge } \frac{( 7\sqrt 3+5 \sqrt 3 +3 \sqrt 3)^2}{21ab+8ca+2bc} \ge \frac{(15 \sqrt 3)^2}{12}= \frac{225}4$Từ đó suy ra $A \ge \frac{15}2$Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a = \frac 13, b =\frac 45, c= \frac 32$

$pt\Leftrightarrow (2x+1)(x^2+5)=2p^n$Dễ thấy $2x+1$ lẻ và $2p^n$ chẵn , do đó $x^2+5$ chẵn $\Rightarrow x$ lẻTa lại có $x^2+5>2x+1$Do đó, đặt $n=a+b;x=2y+1; a>b;a,b,n \in \mathbb{N}$$pt\Leftrightarrow (4y+3)(4y^2+4y+6)=2p^n$$\Leftrightarrow (4y+3)(2y^2+2y+3)=p^{a+b}$$\Leftrightarrow \begin{cases}2y^2+2y+3=p^a \\ 4y+3=p^b \end{cases}$Do $p^a \;\vdots \; p^b$Nên $\frac{2y^2+2y+3}{4y+3} =t\in N$ $\Rightarrow 2y^2+2y(1-2t)+3(1-t)=0$Để phương trình nhận nghiệm $y \in \mathbb{N}$ thì $\sqrt{\Delta'_y} \in\mathbb{N}$$\Delta'_y=(1-2t)^2-6(1-t)=4t^2+2t-5$Dễ dàng giải pt nghiệm nguyên này và thu đc $t=1$Do đó $y=1 \vee y=0\Rightarrow x=1 \vee x=3$Thử lại với phương trình ban đầuTừ đó thu đc 2 nghiệm $(x,p,n)=\{(1;3;2);(3;7;2)\}$

$pt\Leftrightarrow (2x+1)(x^2+5)=2p^n$Dễ thấy $2x+1$ lẻ và $2p^n$ chẵn , do đó $x^2+5$ chẵn $\Rightarrow x$ lẻTa lại có $\frac{x^2+5}2 \ge2x+1$Do đó, đặt $n=a+b;x=2y+1; a \ge b;a,b,n \in \mathbb{N}$$pt\Leftrightarrow (4y+3)(4y^2+4y+6)=2p^n$$\Leftrightarrow (4y+3)(2y^2+2y+3)=p^{a+b}$$\Leftrightarrow \begin{cases}2y^2+2y+3=p^a \\ 4y+3=p^b \end{cases}$Do $p^a \;\vdots \; p^b$Nên $\frac{2y^2+2y+3}{4y+3} =t\in N$ $\Rightarrow 2y^2+2y(1-2t)+3(1-t)=0$Để phương trình nhận nghiệm $y \in \mathbb{N}$ thì $\sqrt{\Delta'_y} \in\mathbb{N}$$\Delta'_y=(1-2t)^2-6(1-t)=4t^2+2t-5$Dễ dàng giải pt nghiệm nguyên này và thu đc $t=1$Do đó $y=1 \vee y=0\Rightarrow x=1 \vee x=3$Thử lại với phương trình ban đầuTừ đó thu đc 2 nghiệm $(x,p,n)=\{(1;3;2);(3;7;2)\}$