Với $c\ge0,d \le0$ hoặc $c \le 0, d \ge 0$. Ta có $cd \le0 (1)$Với $ c \le 0 , d \le 0$. Ta có $c+d \le 0$ ( ko thể xảy ra )Với $c \ge0 , d \ge0$. Áp dụng bđt $AM-GM$ : $cd \le \frac{(c+d)^2}4=\frac 94(2)$Từ $(1),(2)\Rightarrow cd \le \frac 94$ $\forall cd$ $\in \mathbb{R}$~~~~~~~~~~~~~~Áp dụng bđt bunhia, ta có $(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)\Leftrightarrow |ac+bd| \le \sqrt{c^2+d^2}$Ta lại có $ac+bd \le|ac+bd|$$\Rightarrow ac+bd \le \sqrt{c^2+d^2}$$\Leftrightarrow VT\le \sqrt{c^2+d^2}+cd=\sqrt{9-2cd}+cd=\sqrt{\frac{3\sqrt2}{2}}.\frac{\sqrt{9-2cd}}{\sqrt{\frac{3\sqrt2}{2}}}+cd$$\le \dfrac{\dfrac{3\sqrt2}{2}+\dfrac{9-2cd}{\frac{3\sqrt2}{2}}}{2}+cd=\frac{3\sqrt2}{4}+\frac{9-2cd}{3\sqrt2}+cd$$=\frac{9\sqrt 2}4+\frac{3\sqrt2 -2}{3\sqrt 2}.cd \le\frac{9\sqrt 2}4+\frac{3\sqrt2 -2}{3\sqrt 2}.\frac 94$$VT \le \frac{9+6\sqrt2}4$ (đpcm)Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{\sqrt 2}2,c=d=\frac32$

Với $c\ge0,d \le0$ hoặc $c \le 0, d \ge 0$. Ta có $cd \le0 (1)$Với $ c \le 0 , d \le 0$. Ta có $c+d \le 0$ ( ko thể xảy ra )Với $c \ge0 , d \ge0$. Áp dụng bđt $AM-GM$ : $cd \le \frac{(c+d)^2}4=\frac 94(2)$Từ $(1),(2)\Rightarrow cd \le \frac 94$ $\forall cd$ $\in \mathbb{R}$~~~~~~~~~~~~~~Áp dụng bđt bunhia, ta có $(ac+bd)^2 \le (a^2+b^2)(c^2+d^2)\Leftrightarrow |ac+bd| \le \sqrt{c^2+d^2}$Ta lại có $ac+bd \le|ac+bd|$$\Rightarrow ac+bd \le \sqrt{c^2+d^2}$$\Leftrightarrow VT\le \sqrt{c^2+d^2}+cd=\sqrt{9-2cd}+cd=\sqrt{\frac{3\sqrt2}{2}}.\frac{\sqrt{9-2cd}}{\sqrt{\frac{3\sqrt2}{2}}}+cd$$\le \dfrac{\dfrac{3\sqrt2}{2}+\dfrac{9-2cd}{\frac{3\sqrt2}{2}}}{2}+cd=\frac{3\sqrt2}{4}+\frac{9-2cd}{3\sqrt2}+cd$$=\frac{9\sqrt 2}4+\frac{3\sqrt2 -2}{3\sqrt 2}.cd \le\frac{9\sqrt 2}4+\frac{3\sqrt2 -2}{3\sqrt 2}.\frac 94$$VT \le \frac{9+6\sqrt2}4$ (đpcm)Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{\sqrt 2}2,c=d=\frac32$