|
|
|
|
|
|
|
|
được thưởng
|
Đăng nhập hàng ngày 27/10/2015
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
Thêm 1 bài
|
|
|
|
Giải như sau: Đặt \begin{cases}x_1=1008-a \\x_2=1008-b \\ x_3=1008-c \end{cases} Trong đó $a,b,c\in\mathbb{Z^+}$ Số bộ nghiệm nguyên dương $(x_1,x_2,x_3)$ thỏa mãn tương ứng với số bộ nghiệm nguyên dương $(a,b,c)$ thỏa mãn PT: $a+b+c=1008$. Đặt $(a,b,c)=(a_1+1,b_1+1,c_1+1)$ thì $a_1,b_1,c_1\geq 0$ và $a_1+b_1+c_1=1005$ Áp dụng bài toán chia kẹo Euler ta có số nghiệm của PT này là $C_{1007}^{2}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
Chứng minh BĐT
|
|
|
|
Giải như sau:Đặt $(\sqrt{8^a},\sqrt{8^b},\sqrt{8^c})=(m^2,n^2,p^2)$. Ta đi chứng minh BĐT sau với $mnp=1$ và $m,n,p>0$$\frac{1}{m^2+n^2+1}+\frac{1}{m^2+p^2+1}+\frac{1}{n^2+p^2+1}\leq 1$$\Leftrightarrow A=\sum \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2+1}\geq 2\Leftrightarrow A=\frac{(m+n)^2+(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq 4$Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz: $\sum\frac{(m+n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n\geq p$ thì $\Rightarrow \sum\frac{(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{(m-p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Ta đi CM $ \frac{(m-p)^2+4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}\geq 4\Leftrightarrow (m+n+p)^2+(m-p)^2\geq 2(m^2+n^2+p^2)+mn+mp+np$$\Leftrightarrow (n-m)(p-n)\geq 0$ ( đúng)Do đó ta có đpcm
Giải như sau:Đặt $(\sqrt{8^a},\sqrt{8^b},\sqrt{8^c})=(m^2,n^2,p^2)$. Ta đi chứng minh BĐT sau với $mnp=1$ và $m,n,p>0$$\frac{1}{m^2+n^2+1}+\frac{1}{m^2+p^2+1}+\frac{1}{n^2+p^2+1}\leq 1$$\Leftrightarrow A=\sum \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2+1}\geq 2\Leftrightarrow A=\frac{(m+n)^2+(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq 4$Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz: $\sum\frac{(m+n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n\geq p$ thì $\Rightarrow \sum\frac{(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{(m-p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Ta đi CM $ \frac{(m-p)^2+4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}\geq 4$$\Leftrightarrow (m+n+p)^2+(m-p)^2\geq 2(m^2+n^2+p^2)+mn+mp+np$$\Leftrightarrow (n-m)(p-n)\geq 0$ ( đúng)Do đó ta có đpcm
|
|
|
|
|
|
sửa đổi
|
Chứng minh BĐT
|
|
|
|
Giải như sau:Đặt $(\sqrt{8^a},\sqrt{8^b},\sqrt{8^c})=(m^2,n^2,p^2)$. Ta đi chứng minh BĐT sau với $mnp=1$ và $m,n,p>0$$\frac{1}{m^2+n^2+1}+\frac{1}{m^2+p^2+1}+\frac{1}{n^2+p^2+1}\leq 1$$\Leftrightarrow A=\sum \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2+1}\geq 2\Leftrightarrow A=\frac{(m+n)^2+(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq 4$Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz: $\sum\frac{(m+n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n\geq p$ thì $\Rightarrow \sum\frac{(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{(m-p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Ta đi CM $ \frac{(m-p)^2+4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}\geq 4\Leftrightarrow (m+n+p)^2+(m-p)^2\geq 2(m^2+n^2+p^2)+mn+mp+np\Leftrightarrow (n-m)(p-n)\geq 0$ ( đúng)Do đó ta có đpcm
Giải như sau:Đặt $(\sqrt{8^a},\sqrt{8^b},\sqrt{8^c})=(m^2,n^2,p^2)$. Ta đi chứng minh BĐT sau với $mnp=1$ và $m,n,p>0$$\frac{1}{m^2+n^2+1}+\frac{1}{m^2+p^2+1}+\frac{1}{n^2+p^2+1}\leq 1$$\Leftrightarrow A=\sum \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2+1}\geq 2\Leftrightarrow A=\frac{(m+n)^2+(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq 4$Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz: $\sum\frac{(m+n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n\geq p$ thì $\Rightarrow \sum\frac{(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{(m-p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$Ta đi CM $ \frac{(m-p)^2+4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}\geq 4\Leftrightarrow (m+n+p)^2+(m-p)^2\geq 2(m^2+n^2+p^2)+mn+mp+np$$\Leftrightarrow (n-m)(p-n)\geq 0$ ( đúng)Do đó ta có đpcm
|
|
|
|
giải đáp
|
Chứng minh BĐT
|
|
|
|
Giải như sau:
Đặt $(\sqrt{8^a},\sqrt{8^b},\sqrt{8^c})=(m^2,n^2,p^2)$. Ta đi chứng minh BĐT sau với $mnp=1$ và $m,n,p>0$
$\frac{1}{m^2+n^2+1}+\frac{1}{m^2+p^2+1}+\frac{1}{n^2+p^2+1}\leq 1$
$\Leftrightarrow A=\sum \frac{m^2+n^2}{m^2+n^2+1}\geq 2\Leftrightarrow A=\frac{(m+n)^2+(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq 4$
Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz: $\sum\frac{(m+n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$
Không mất tính tổng quát giả sử $m\geq n\geq p$ thì $\Rightarrow \sum\frac{(m-n)^2}{m^2+n^2+1}\geq \frac{(m-p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}$
Ta đi CM $ \frac{(m-p)^2+4(m+n+p)^2}{2(m^2+n^2+p^2)+3}\geq 4$
$\Leftrightarrow (m+n+p)^2+(m-p)^2\geq 2(m^2+n^2+p^2)+mn+mp+np$
$\Leftrightarrow (n-m)(p-n)\geq 0$ ( đúng)
Do đó ta có đpcm
|
|