+Phương trình (d) qua A(3;4) và có hệ số góc m là: $(d):y=m(x-3)+4$
+Phương trình hoành độ giao điểm (C) và (d): $x^3-3x^2+4=m(x-3)+4$
$\Leftrightarrow x=3$ hoặc $x^2=m (*)$
Để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A,B,C $\Leftrightarrow (*)$ có 2 nghiệm pb khác 3 $\Leftrightarrow 9\neq m>0$
Khi đó (d) cắt (C) tại 3 điểm $A(3;4), B(x_1;y_1),C(x_2;y_2)$
+Theo Vi-et: $\begin{cases}x_1+x_2=0 \\ x_1x_2=-m \end{cases}$
+Các tiếp tuyến tại B,C vuông góc $\Leftrightarrow y'(B).y'(C)=-1$
$\Leftrightarrow (3x_1^2-6x_1)(3x_2^2-6x_2)=-1$
$\Leftrightarrow (x_1x_2)^2+2x_1x_2\left[2-(x_1+x_2) {} \right]=\frac{-1}{9}$
$\Leftrightarrow m^2-4m+\frac{1}{9}=0$
Chúc bạn làm tốt