$a,b,c\in \left[ 0;1{} \right]\Rightarrow a+b+c\in \left[ 0;1{} \right]$Ta cần CM: $a+b+c-(ab+bc+ac)\leq 1 (*)$Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) (1)$Mặt khác: $Vì 0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq a+b+c (2)$$(1)(2)\Rightarrow (a+b+c)^2\leq a+b+c+2(ab+bc+ac)$$\Rightarrow ab+bc+ac\geq (a+b+c)^2-(a+b+c)$Vậy $(*)\Leftrightarrow a+b+c-\left[(a+b+c)^2-(a+b+c) {} \right]\leq 1$ $\Leftrightarrow 2(a+b+c)-(a+b+c)^2\leq 1$Đặt $t=a+b+c, t\in \left[ {} 0;1\right]$Ta CM: $f(t)=2t-t^2\leq 1$$f'(t)=2-2t\geq 0 \forall t\in \left[0;1 {} \right]$$\Rightarrow f(t)\leq 1$ (đpcm)

$a,b,c\in \left[ 0;1{} \right]\Rightarrow a+b+c\in \left[ 0;1{} \right]$Ta cần CM: $a+b+c-(ab+bc+ac)\leq 1 (*)$Ta có $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac) (1)$Mặt khác: $Vì 0\leq a,b,c\leq 1\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq a+b+c (2)$$(1)(2)\Rightarrow (a+b+c)^2\leq a+b+c+2(ab+bc+ac)$$\Rightarrow 2(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2-(a+b+c)$Vậy $(*)\Leftrightarrow a+b+c-\frac{1}{2}\left[(a+b+c)^2-(a+b+c) {} \right]\leq 1$ $\Leftrightarrow \frac{3}{2}(a+b+c)-\frac{1}{2}(a+b+c)^2\leq 1$Đặt $t=a+b+c, t\in \left[ {} 0;1\right]$Ta CM: $f(t)=\frac{3}{2}t-\frac{1}{2}t^2\leq 1$$f'(t)=\frac{3}{2}-t\geq 0 \forall t\in \left[0;1 {} \right]$$\Rightarrow f(t)\leq 1$ (đpcm)Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $(a;b;c)=(1;0;0), (0;1;0),(0;0;1)$