Áp dụng $\sqrt{1+x^3}\le \frac{x^2}{2}+1$
$\Rightarrow P\ge\sum_{cyc}^{}\frac{x}{1+\frac{y^2}{2}} $
Ta cần cm $\sum_{cyc}^{}\frac{x}{1+\frac{y^2}{2}}\ge 2\Leftrightarrow \sum_{cyc}^{}\frac{x}{2+y^2}\ge 1 $
Có$\sum_{cyc}^{}\frac{x}{2+y^2}=\sum_{cyc}^{}\frac{x}{2}-\sum_{cyc}^{}\frac{xy^2}{4+2y^2}\ge3-\sum_{cyc}^{} \frac{xy^\frac{2}{3}}{3\sqrt[3]{4}} $
Cần cm $\sum_{cyc}^{} xy^\frac{2}{3}\le 6\sqrt[3]{4}$
Mà $xy^\frac{2}{3} \le \frac{\sqrt[3]{4}}{3}x(y+1)\Rightarrow \sum_{cyc} xy^\frac{2}{3}\le\frac{\sqrt[3]{4}(a+b+c)^2}{3.3}+\frac{\sqrt[3]{4}}{3}(a+b+c)=6\sqrt[3]{4}$
Ta có dpcm