Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Nhân liên hợp ta được:
$\frac{x^3}{x + \sqrt{x^2 +1}}$ $=$ $\frac{x^3 \times (x - \sqrt{x^2+1})}{x^2 - (x^2 +1)}$ $=x^3 \times  \sqrt{x^2+1} - x^4$

$\rightarrow I=\int\limits_{0}^{1} (x^3 \times \sqrt{x^2+1} - x^4)dx$
                  $=\int\limits_{0}^{1} x^3 \times \sqrt{x^2+1}dx - \int\limits_{0}^{1} x^4dx$ $=A -\int\limits_{0}^{1}x^4dx$

Đặt $\sqrt{x^2+1}=t \rightarrow x^2=t^2-1$
                                            $2xdx=2tdt$

Đổi cận $x: 0\rightarrow 1$
             $t: 1 \rightarrow \sqrt{2}$
$\rightarrow A= \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} (t^2-1) \times t \times tdt$ $= \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} (t^4 - t^2)dt$