$I=\int\limits_{-1}^{0} \frac{dx}{x^{2} + 2x + 2} = $$\int\limits_{-1}^{0} \frac{dx}{(x+1)^2 +1}$
Đặt $x+1=\tan t \rightarrow dx = \frac{1}{\cos^2 t}dt = (\tan^2 t+1)dt$
Đổi cận: $ x: -1\rightarrow 0$
                $ t: 0\rightarrow \frac{\pi }{4}$

$\rightarrow I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}} \frac{(\tan^2 t+1)dt}{\tan^2 t+1}$
           $= \int\limits_{0}^{\frac{\pi }{4}} dt$
           $=\frac{\pi }{4}$

$y= \frac{1}{3}x^3 - x^2  (C)$
$\rightarrow y' = x^2 - 2x$
Gọi $M\in (C) \rightarrow M(a ;\frac{1}{3}a^3-a^2)$
Gọi $\Delta $ là tiếp tuyến của $(C)$ tại M
$\rightarrow \Delta : y=(a^2 -2a).(x-a) +\frac{1}{3}a^3 - a^2$
Hay: $\Delta : y=(a^2-2a)x - \frac{2}{3}a^3+a^2$
*Giả sử $A=\Delta \cap Ox \rightarrow A(\frac{a.(2a-3)}{3.(a-2)};0)  (a\neq 2)$
            $B=\Delta \cap Oy \rightarrow B(0;-\frac{2}{3}a^3+a^2)$
Thao bài ra: $OB=3OA$
                $\Leftrightarrow \sqrt{(\frac{2}{3}a^3-a^2)^2} = 3.\sqrt{(\frac{a.(2a-3)}{3.(a-2)})^2}$
                $\Leftrightarrow \frac{2}{3}a^3-a^2=3.\frac{a.(2a-3)}{3.(a-2)}$
             Hoặc $\frac{2}{3}a^3-a^2=-3.\frac{a.(2a-3)}{3.(a-2)}$
*TH1: $\frac{2}{3}a^3-a^2=3.\frac{a.(2a-3)}{3.(a-2)}$
   $\Leftrightarrow \frac{a^2}{3}.(2a-3) - \frac{a.(2a-3)}{a-2} = 0$
   $\Leftrightarrow (2a-3).(\frac{a^2}{3}-\frac{a}{a-2})=0$
   $\Leftrightarrow (2a-3).(a^3-2a^2-3a)=0$
   $\Leftrightarrow (2a-3).a.(a^2-2a-3)=0$
   $\Leftrightarrow a=\frac{3}{2};
                          a=0;
                          a=-1;
                          a=3$
*TH2: $\frac{2}{3}a^3-a^2=-3.\frac{a.(2a-3)}{3.(a-2)}$
Tương tự có: $a=\frac{3}{2};
                      a=0$
                     

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

Nhân liên hợp ta được:
$\frac{x^3}{x + \sqrt{x^2 +1}}$ $=$ $\frac{x^3 \times (x - \sqrt{x^2+1})}{x^2 - (x^2 +1)}$ $=x^3 \times  \sqrt{x^2+1} - x^4$

$\rightarrow I=\int\limits_{0}^{1} (x^3 \times \sqrt{x^2+1} - x^4)dx$
                  $=\int\limits_{0}^{1} x^3 \times \sqrt{x^2+1}dx - \int\limits_{0}^{1} x^4dx$ $=A -\int\limits_{0}^{1}x^4dx$

Đặt $\sqrt{x^2+1}=t \rightarrow x^2=t^2-1$
                                            $2xdx=2tdt$

Đổi cận $x: 0\rightarrow 1$
             $t: 1 \rightarrow \sqrt{2}$
$\rightarrow A= \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} (t^2-1) \times t \times tdt$ $= \int\limits_{1}^{\sqrt{2}} (t^4 - t^2)dt$

Cho phương trình:
$\cos 6x$($1$ + $\sin 2x$) + $2\cos^2 x$ = $1$ + $2\cos 5x\sin 2x$
Tìm nghiệm $x\epsilon \left ( 0 ;\frac{\Pi}{2}\right )$ của phương trình trên.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, SD, SB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MK và AP theo a.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=a,AD=b.Trên hai tia Am,Cn cùng hướng và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy cấc điểm M, N sao cho mặt phẳng (MBD) vuông góc mặt phẳng (NBD). Chứng minh: $AM.CN = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}$