Cách $8:$
Ta có: $\sqrt{1+a^3}=\sqrt{(1+a)(a^2-a+1)}\leq \frac{1}{2}(a^2+2)$
$\Rightarrow \sqrt{1+8a}\leq \frac{1}{2}(2+4\sqrt[3]{a^3})$
Tương tự:................................
$\rightarrow $ Cần c/m: $\Sigma \frac{1}{1+2\sqrt[3]{a^2}}\geq 1$
Ta có biến đổi: $VT=\Sigma \frac{\sqrt[3]{(abc)^2}}{\sqrt[3]{(abc)^2}+2\sqrt[3]{a^2}}=\Sigma \frac{\sqrt[3]{(ab)^2}}{\sqrt[3]{(ab)^2}+2}\geq \frac{(\Sigma \sqrt[3]{ab})^2}{6+\Sigma \sqrt[3]{(ab)^2}}$ (do $abc=1$)
Mà: $(\Sigma \sqrt[3]{ab})^2=...........$ (nhân ra)$\geq 6+\Sigma \sqrt[3]{(ab)^2}$ (do $abc=1$).
$\Rightarrow đpcm$