Giữ đúng lời hứa! Công Minh đã gọi tôi là ĐẠI CA vì vậy tui lm cho tiểu đệ, ko biết có giống cách lm trên ko!
Đặt $x=\frac{a}{a+b+c}; y=..;z=...$
$\Rightarrow x+y+z=1$ và BĐT đã cho trở thành: $P=\Sigma \frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}\geq 1$
A/d Cauchy:
$\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+\frac{x}{\sqrt{x^2+8yz}}+x(x^2+8yz)\geq 3x\Leftrightarrow \frac{2x}{\sqrt{x^2+8yz}}+x(x^2+8yz)\geq 3x$
tg tự:.....
Cộng 3 BĐT cùng chiều dc: $2P+x^3+y^3+z^3+24xyz\geq 3$
Mặt khác: $1=(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)\geq x^3+y^3+z^3+24xyz$
$\Rightarrow 2P\geq 3-(x^3+y^3+z^3+24xyz)\geq 3-1=2\Rightarrow P\geq 1(đpcm)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z $ hay $a=b=c$