vì a,b,c>0 và a^4 +b^4 =c^4 =>c>a và c>b =>C^ lớn nhất ta có cosC^=(a^2+b^2- c^2)/2ab,ta cần cm C^<90 =>cosC>0 vậy ta cần cm a^2+b^2-c^2>0 thật vậy a^2+b^2>c^2 <=> a^4+b^4+2a^2*b^2>c^4 <=>2a^2*b^2>0 (LĐ) vậy ABC là tam giác nhọn 2sin^2C = (sinA/cosA).(sinB/cosB) <=> 2sin^2C = (sinA.sinB)/(cosA.cosB) <=> 2(c/2R)^2 = [(a/2R).(b/2R)]/[((b^2 + c^2 - a^2)/2bc).((c^2 + a^2 - b^2)/2ca) <=> c^2/2R^2 = a^2b^2c^2/(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)R^2 <=>[c^2 - (a^2 - b^2)][c^2 + (a^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=>[c^4 - (a^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=> c^4 -a^4 + 2a^2b^2 - b^2 = 2a^2b^2 <=>c^4 = a^4 + b^4. (đúng) => đpcm
vì a,b,c>0 và c^4 +b^4 =a^4 =>a>b và a>c =>A^ lớn nhất ta có cosa^=(c^2+b^2- a^2)/2ab,ta cần cm A^<90 =>cosA>0 vậy ta cần cm c^2+b^2-a^2>0 thật vậy c^2+b^2>a^2 <=> c^4+b^4+2c^2*b^2>a^4 <=>2c^2*b^2>0 (LĐ) vậy ABC là tam giác nhọn 2sin^2A = (sinC/cosC).(sinB/cosB) <=> 2sin^2A = (sinC.sinB)/(cosC.cosB) <=> 2(a/2R)^2 = [(a/2R).(b/2R)]/[((b^2 + c^2 - a^2)/2bc).((c^2 + a^2 - b^2)/2ca) <=> a^2/2R^2 = c^2b^2c^2/(b^2 + c^2 - a^2)(c^2 + a^2 - b^2)R^2 <=>[a^2 - (c^2 - b^2)][c^2 + (a^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=>[a^4 - (c^2 - b^2)] = 2a^2b^2 <=> a^4 -c^4 + 2c^2b^2 - b^2 = 2c^2b^2 <=>a^4 = c^4 + b^4. (đúng) => đpcm