Do $x>y nên x-y>0$, bất đẳng thức đã cho tương đương:$x^2+y^2\geq 2\sqrt{2}(x-y)\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)-2\sqrt{2}(x-y)+2xy\geq 0\Leftrightarrow (x-y)^2-2\sqrt{2}(x-y)+2\geq 0 (vì xy=1) \Leftrightarrow (x-y-\sqrt{2})^2\geq 0(luôn đúng)$.Dấu"=" xảy ra <=>$\left\{ $$\begin{array}{l} xy=1\\ x-y=\sqrt{2} \end{array}$$ \right.\Leftrightarrow \left\{ $$\begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array}$$ \right.hoặc \left\{ $$\begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array}$$ \right.$

Do $x>y nên x-y>0, bất đẳng thức đã cho tương đương:x^2+y^2\geq 2\sqrt{2}(x-y)\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)-2\sqrt{2}(x-y)+2xy\geq 0\Leftrightarrow (x-y)^2-2\sqrt{2}(x-y)+2\geq 0 (vì xy=1) \Leftrightarrow (x-y-\sqrt{2})^2\geq 0(luôn đúng)$.Dấu"=" xảy ra <=>$\left\{ \begin{array}{l} xy=1\\ x-y=\sqrt{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\ y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.hoặc \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}\\ y=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.$

GTNN nè mấy bạn

Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của một tam giácTìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\sqrt{1+\frac{24(y+z-x)}{x}}+\sqrt{1+\frac{24(z+x-y)}{y}}+\sqrt{1+\frac{24(x+y-z)}{z}}$

GTLN, GTNN

GTNN nè mấy bạn

Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của một tam giácTìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:$P=\sqrt{1+\frac{24(y+z-x)}{x}}$+ $\sqrt{1+\frac{24(z+x-y)}{y}}$ + $\sqrt{1+\frac{24(x+y-z)}{z}}$

GTLN, GTNN

thử làm nha mọi người!

Chứng minh rằng với mọi $a, b, c$ là các số thực dương ta có :$\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c} \geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Bất đẳng thức Cô-si

thử làm nha mọi người!

Chứng minh rằng với mọi $a, b, c$ là các số thực dương ta có :$\frac{\sqrt{b+c}}{a}$+$\frac{\sqrt{c+a}}{b}$+ $\frac{\sqrt{a+b}}{c}$ $\geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

Bất đẳng thức Cô-si