m.n giup e voi ạ

chứng minh pt có ít nhất 2 nghiệm phân biệt : x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx -2013=0

Đại số

m.n giup e voi ạ

chứng minh pt có ít nhất 2 nghiệm phân biệt : $x^{4} + ax^{3} + bx^{2} + cx -2013=0$

Đại số

với $x\in [-1;\frac{1}{3}]$bpt $\Leftrightarrow 2x+7+(x+3)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-3x})-\sqrt{(1+x)(1-3x)}\geq 0(*)$đặt $\sqrt{1+x}=a,\sqrt{1-3x}=b$VT(*) trở thành$f(a,b)=a^{3}+a^{2}b+2a^{2}+2a+2b-ab+5$ với $a\in [0;\frac{2}{\sqrt{3}}];b\in [0;2]$$f(a,b)=(a+b)(a^{2}+2)+2a^{2}-ab+5$vì $b^{2}-40<0\forall b\in [0;2]$ nên $2a^{2}-ab+5>0$từ đó suy ra $f(a,b)>0\Rightarrow VT>0$ (phù hợp với bpt (*))vậy $[-1;\frac{1}{3}]$ là nghiệm của bpt.

với $x\in [-1;\frac{1}{3}]$bpt $\Leftrightarrow 2x+7+(x+3)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-3x})-\sqrt{(1+x)(1-3x)}\geq 0(*)$đặt $\sqrt{1+x}=a,\sqrt{1-3x}=b$VT(*) trở thành$f(a,b)=a^{3}+a^{2}b+2a^{2}+2a+2b-ab+5$ với $a\in [0;\frac{2}{\sqrt{3}}];b\in [0;2]$$f(a,b)=(a+b)(a^{2}+2)+2a^{2}-ab+5$vì $b^{2}-4<0\forall b\in [0;2]$ nên $2a^{2}-ab+5>0$từ đó suy ra $f(a,b)>0\Rightarrow VT>0$ (phù hợp với bpt (*))vậy $[-1;\frac{1}{3}]$ là nghiệm của bpt.