Xét tử $2sinx+3cosx=A.mẫu+B.(mẫu)'=14/17(sinx+4cosx)-5/17(cosx-4sinx)$
$I_0=14/7\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}dx-5/17\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{d(sinx+4cosx)}{sinx+4cosx}$
đến đây bạn làm và thay cận vào nhé

$pt\Leftrightarrow 3sinx-2(cos^{2}x+sin^{2}x)-1=0\Leftrightarrow sinx=1\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi$

$1,  I=\int\limits_{1}^{e}=\frac{x^{2}(x.lnx+2)+lnx+1}{xlnx+2}dx=\int\limits_{1}^{e}\left ( x^{2}+\frac{lnx+1}{xlnx+2} \right )dx
=\int\limits_{1}^{e}x^{2}dx+\int\limits_{1}^{2}\frac{d(xlnx+2)}{xlnx+2}$
$d(xlnx+2+c)=(lnx+1)dx$ ; $c=const$
Vậy$I=\frac{x^{3}}{3}+ln(xlnx+2)$ bạn tự thay cận vào nha

Điều kiện: x  dương
pt$\Leftrightarrow  x^{\frac{1}{2}log_2x}\geq 2^{\frac{3}{2}log_2x-1}$
lấy log cơ số 2 của hai vế , vì cơ số 2 lớn hoqn 1 nên dấu pt không đổi
$\Leftrightarrow 1/2log_2x.log_2x\geq 3/2log_2x-1$
$\Leftrightarrow (log_2x-1).(log_2x-2)\geq 0$
$\Leftrightarrow (x-2)(x-4)\geq 0$
Vậy $x\in (0:2]$ và $[4;+\infty)$

Mình không có thấy dấu lớn hơn, nhỏ hơn nên mình thay bằng $\geq ;\leq $ bỏ hết dấu "=" đi nha, thông cảm cho mình ^^

Điều kiện: $(x-2)(y-1)$ dương và $x;y\neq 1$

Pt  $\Leftrightarrow (x-1)^{3}-3(x-1)=y^{3}-3y$ $ \Rightarrow f'(t)3.t^{2}-3$
Xét $f(t)=t^{3}-3t$
$.y\geq 1\Rightarrow x-1\geq 1\Rightarrow t\geq 1\Rightarrow f'(t)\geq 0$
$.0\leq y\leq 1\Rightarrow -1\leq x-1\leq 1\Rightarrow t\geq 1$  hoặc  $ t\leq -1\Rightarrow f'(t)\leq 0$
$f(t)$ đơn điệu $\Rightarrow (1)\Leftrightarrow f(x-1)=f(y)\Leftrightarrow x-1=y$
Thay vào $(2)$ ta có
$log_y\frac{y-1}{y-1}+log_y+_1\frac{y-1}{y-1}=(x-3)^{2}$
$\Leftrightarrow 0=(x-3)^{2}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x=3 \\ y= 2\end{cases}$

Đặt $t=sin2x +cos2x$
$t'=cos2x-sin2x=0\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{8}+k\pi$ Với $x\in \left ( x\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{2}\right )   t'=0\Leftrightarrow x\in rỗng$
===>$t\in(-1;1)$
phương trình theo $t$ có dang:  $mt+t^{2}-1+m=0$
$\Leftrightarrow (t+1).(t+m-1)=0 \Leftrightarrow t=1-m(*)$(do     $ t+1\neq0)$
ứng với mỗi $t$ là một $x$ số nghiệm pt đầu$(1)$ chính là số nghiệm của $(*)$
$(1)$ vô nghiệm$\Leftrightarrow m\in (-\infty;0] và  [2;+\infty)$
$(1)$ có 1 nghiệm$\Leftrightarrow  m\in (0;2)$