GỌI H là giao của AB và MI;I là tâm đường tròn
 ta có M(0;a)
mà $\overrightarrow{IM}.\overrightarrow{IE}=IM.IH=R^2$
$=>4.0+a=4>a=4=>M(0;4)$

$2(x^2+x+1)+3(x-1)=7\sqrt{(x-1)(x^2+x+1)}$
$=>x^2+x+1=a;x-1=b;=>2a+3b=7\sqrt {ab}=>a=9b$ \/ $4a=b$
$\Leftrightarrow x=\frac{4+\sqrt6}{2}$

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết

cộng hai vế của dữ kiện ta có $3(x+y+z)+2y=11997=>3(x+y+z)\leq11997$ (do $y\geq0$)
$=>MAX=3999$ khi x=1999; y=0;z=2000

từ pt dưới ta rút gọn $\sqrt{y+1}$ ta được
$y^2-y-\frac1{y+1}=x+3-\frac{3x+4}{\sqrt{x+1}}$
$<=>(y+1)^2-3(y+1)-\frac1{y+1}=(x+1)-3\sqrt{x+1}-\frac1{\sqrt{x+1}}  (*)$
Xét hàm số $f(t)=t^2-3t-\frac1t ;t>0$
Ta có $f'(t)=2t-3+\frac1{t^2}\geq 0$  Do theo Cauchy $t+t+\frac1{t^2} \geq 3$
$\rightarrow f(t) $ đồng biến nên ta có
$ (*)\Leftrightarrow f(\sqrt{x+1})=f(y+1)\Leftrightarrow \sqrt{x+1}=y+1\Leftrightarrow x=y^2+2y$ thay vào pt $(1)$ 
**Cách giải pt (2) t dùng hàm đặc trưng nếu bạn đang học lớp 11 thì bạn có thể nhóm nhân tử chung**
$\rightarrow 2y^4-4y^3+y^2+y-15=0$
$\Leftrightarrow 2(y^2-y)^2-(y^2-y)-15=0$ đến đây giải nốt nhé.....nhớ vote nhé ^^

$(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}).((a+b)+(b+c)+(a+c))\geq(a+b+c)^2$ (bu-nhi-a)
$=>dpcm        '=  '$  khi $a=b=c=\frac23$