Ta có: $x^2+y^2+z^2+xyz\geq4(1)\Leftrightarrow x^2+(y+z)^2-2yz+xyz-4\geq0$
$\Leftrightarrow x^2+(3-x)^2-2yz+xyz-4\geq0$(vì $y+z=3-x)$ 
$\Leftrightarrow (x-2)yz+2x^2-6x+5\geq0$ 
Đặt $t=xy\Rightarrow t\leq \frac{(z+y)^2}{4}=\frac{(3-x)^2}{4}$ 
Từ đó: $(1)\Leftrightarrow f(t)=(x-2)t+2x^2-6x+5\geq0$ Với $t\in \left[ {0;\frac{(3-x)^2}{4}} \right]$ 
Ta có: $f(0)=2x^2-6x+5=2(x-\frac{3}{2})+\frac{1}{2}>0$ 
$f(\frac{(3-x)^2}{4})=(x-2)\frac{(3-x)^2}{4}+2x^2-6x+5=\frac{x^3-3x+2}{4}=\frac{(x-1)^2(x+2)}{4}>0 \forall x\geq0$ 
Từ đó suy ra:$f(t)\geq0\Rightarrow dpcm $ 
Vậy $x^2+y^2+z^2+xyz\geq4$ 

$10$ người câu 10 con cá trong $5$ phút. Hỏi $50$ người câu $50$ con cá trong bao lâu?

Giả sử $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a \leq b \leq 3;c\geq b+1;a+b\geq c$. Tìm GTNN của biểu thức:
$Q=\frac{2ab+a+b+c(ab-1)}{(a+1)(b+1)(c+1)}$ 

Với mỗi số nguyên $n$ thỏa $n\geq2$ cố định xét các tập số thực $n$ đôi một khác nhau. $X=\left\{ {x_1,x_2,x_3,...,x_n} \right\}$. Kí hiệu $C(X)$ là số giá trị khác nhau của tổng $x_i+x_j,(1\leq i \leq j \leq n).$Tìm GTLN và GTNN của $C(X)$

$\left\{ \begin{array}{l} x-2y=4-m\\ 2x+y=3m+3 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x-2y=4-m\\ 4x+2y=6m+6 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 5x=10+5m\\ x-2y=4-m \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=m+2\\ y=m-1 \end{array} \right.$
ta có: $x^2+y^2=(m+2)^2+(m-1)^2=m^2+4m+4+m^2-2m+1=2m^2+2m+5$
$=2(m^2+m+\frac{1}{4})+\frac{9}{2}\geq \frac{9}{2}$ 
Vậy $(x^2+y^2)_{min}=\frac{9}{2}$ tại $m=\frac{-1}{2}$ hay $x=\frac{3}{2};y=\frac{-3}{2}$