Ta có: $\cos^215^0=1-\sin^215^0=1-\left (\frac{\sqrt{ 6}-\sqrt{ 2}  }{4}\right)^2=\frac{8+4\sqrt{3 } }{16}=\frac{(\sqrt{3 } +1)^2}{8}$
Từ đó $\cos 15^0=\sqrt{ \frac{(\sqrt{ 3}+1)^2 }{8} } =\frac{\sqrt{ 3}+1 }{2\sqrt{ 2} }=\frac{(\sqrt{3 }+1)\sqrt{2 }}{4}=\frac{\sqrt{6 }+\sqrt{ 2}  }{4}$
$\tan15^0=\frac{\sin15^0}{\cos 15^0} =\frac{\sqrt{6 }-\sqrt{2 }  }{\sqrt{6 }+\sqrt{2 }  } =\frac{(\sqrt{6 }-\sqrt{ 2})^2  }{4}=2-\sqrt{ 3}$
$\cot 15^0=\frac{1}{2-\sqrt{3 } }=2+\sqrt{3 }$
Ta có: $2\sin 15^0.\cos 15^0=2.\frac{\sqrt{6 }-\sqrt{ 2}  }{4} .\frac{\sqrt{6 }+\sqrt{2 }  }{4} =\frac{1}{8}(6-2)=\frac{1}{2} =\sin 30^0$.

a) Ta chọn gốc $C$. Theo giả thiết thì có
$\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CA}-m \overrightarrow{CB}  }{1-m}; \overrightarrow{CN}=\frac{CB}{1-n}; \overrightarrow{CP}=\frac{-p \overrightarrow{CA} }{1-p}$
nên: $\overrightarrow{CB}=(1-n)\overrightarrow{CN}, \overrightarrow{CA}=\frac{p-1}{p}\overrightarrow{CP}$
do đó: $\overrightarrow{CM}=\frac{p-1}{p(1-m)}\overrightarrow{CP}-\frac{m(1-n)}{1-m}\overrightarrow{CN}$
Điều kiện cần và đủ để ba điểm $M, N, P$ thẳng hàng là:
$\frac{p-1}{p(1-m)}-\frac{m(1-n)}{1-m}=1\Leftrightarrow p-1-pm(1-m)=p(1-m)\Leftrightarrow mnp=1$
                                      
b) Ta chuyển về điều kiện thẳng hàng ở trên và điều kiện cùng phương với hình minh họa.
                            

Lời giải này có yêu cầu trả vỏ sò để xem. Bạn hãy link trên để vào xem chi tiết