Gọi $10$ số tự nhiên từ $1$ đến $10$ viết theo thứ tự từ trái sang phải là $a_1, a_2, ...., a_{10}$. Ta lập dãy mới $b_1, b_2, ...., b_{10}$ với:
$b_1 = a_1 + 1; b_2 = a_2 + 2; ...; b_{10} = a_{10} + 10$.
$b_i$ là tổng của $a_i$ với vị trí thứ $i$ mà nó đứng $(i = 1, 2, ..., 10)$.
Ta có:
$b_1 + b_2 + ... b_{10} = a_1 + a_2 + ... + a_{10} + 1 + 2 + ... + 10 = 2 (1 + 2 + ... + 10) = 110$
Vì $110$ là số chẵn nên không xảy ra trường hợp có $5$ số $b_i$ nào đó lẻ và $5$ số $b_j$ nào đó chẵn, hay nói cách khác số các $b_i$ chẵn và số các $b_j$ lẻ phải khác nhau. Do đó số các $b_i$ lẻ lớn hơn $5$ hoặc số các $b_j$ chẵn lớn hơn $5$. Mà từ $1$ đến $10$ chỉ có $5$ vị trí lẻ và $5$ vị trí chẵn nên theo nguyên tắc Dirichlet phải có ít nhất hai số $b_i$ lẻ có chữ số tận cùng như nhau hoặc có hai số $b_j$ chẵn có chữ số cùng như nhau.

a) $\log \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\log4 + 4\log \sqrt{2} = - \log8 + \log2 + \log4 = - \log8 + \log8 = 0$ ;         

b) $\log \frac{4}{9} + \frac{1}{2}\log36 + \frac{3}{2}\log \frac{9}{2}$
$= \log \left (\frac{4}{9}.6. \sqrt{(\frac{9}{2})^3 } \right ) = \log \left (\frac{4}{9}.6.\frac{3^3}{2}. \sqrt{\frac{1}{2} } \right) =  \log \left (\frac{4}{9}.3^4. \frac{\sqrt{2} }{2}\right) = \log(18\sqrt{2})$

c) $\log72 - 2\log \frac{27}{256}+ \log \sqrt{108} = \log(2^3.3^2) - \log \frac{3^6}{2^{16}} + \log \sqrt{2^2.3^3}$
$= \log \left (2^3.3^2.\frac{2^{16}}{3^6}. 2.3^ \frac{3}{2} \right ) = \log \left (2^{20}.3^{- \frac{5}{2}} \right) = 20\log2 - \frac{5}{2}\log3$  

d) $\log \frac{1}{8} - \log0,375 + 2\log \sqrt{0,5625} = \log2^{-3} - \log (0,5^3.3) + 2\log \sqrt{0,5^4.3^2}$
$= \log2^{-3} - \log2^{-3} - \log3 + 2\log2^{-2} + 2\log3 = \log2^{-4} + \log3 = \log \frac{3}{16}$

Đặt $\frac{(y+z-x)x}{\lg x} = \frac{y(z+x-y)}{\lg y} = \frac{z(x+y-z)}{\lg z} = \frac{1}{t}$
Suy ra:
$\begin{cases}\lg x = tx (y+z-x) \\ \lg y = ty(z+x-y)\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}y \lg x = txy (y+z-x) \\ x \lg y = txy (z+x-y) \end{cases}$
Từ đó ta có: $x \lg y +y \lg x = 2txyz$                    $(1)$
Lập luận tương tự:
                      $y \lg z + z \lg y = 2txyz$                   $(2)$
                      $z \lg x + x \lg z = 2txyz$                   $(3)$
Từ $(1), (2), (3)$ suy ra:
     $x \lg y + y \lg x = y \lg z + z \lg y = z \lg x + x \lg z$
$\Rightarrow \lg (x^y.y^x) = \lg (y^z.z^y) = \lg (z^x.x^z)$
$\Rightarrow x^y.y^x = y^z.z^y = z^x.x^z$

Ta có $\log_616 = 4\log_62 = \frac{4}{\log_26} = \frac{4}{1 + \log_23}$
Bây giờ phải tính $\log_23$ theo $a$, hãy biến đổi $\log_{12}27$ để làm xuất hiện $\log_23$
Ta có $a = \log_{12}27 = 3\log_{12}3 = \frac{3}{\log_312} = \frac{3}{1 + \log_34}$
              $= \frac{3}{1 + 2\log_32} = \frac{3}{1 + \frac{2}{\log_23} } = \frac{3\log_23}{2 + \log_23}$
Từ đó $a(2 + \log_23) = 3\log_23 \Rightarrow \log_23 = \frac{2a}{3-a}$ (hiển nhiên thấy  $a \neq 3$).
Vậy $\log_616 = \frac{4}{1 + \frac{2a}{3-a} }= \frac{4 (3-a)}{3 + a}$

Điều kiện: $4.2^x-3>0.$ Phương trình đã cho tương đương với:
      $\log_2(4^x+15.2^x+27)=\log_2(4.2^x-3)^2$
$\Leftrightarrow 4^x+15.2^x+27=16.(2^x)^2-24.2^x+9$
$\Leftrightarrow 5.(2^x)^2-13.2^x-6=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2^x=- \frac{2}{5} \\2^x=3 \end{array} \right.$
Do $2^x>0$ nên $2^x=3\Leftrightarrow x=\log_23$  (thỏa mãn điều kiện).

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l} x\geq 1\\0<y\leq 2 \end{array} \right.$   
$(2)\Leftrightarrow 3(1+\log_3x)-3\log_3y=3\Leftrightarrow \log_3x=\log_3y\Leftrightarrow x=y.$   
Thay $y=x$ vào (1) ta có:   
$\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1\Leftrightarrow x-1+2-x+2\sqrt{(x-1)(2-x)}=1$   
$\Leftrightarrow \sqrt{(x-1)(2-x)}=0 \Leftrightarrow\left[ {\begin{matrix}  x=1  \\   x=2 \end{matrix}} \right..$   
Vậy hệ có hai nghiệm là: $(x;y)=(1;1)$ và $(x;y)=(2;2)$.