|
|
bình luận
|
Phương trình lượng giác.(I)
Còn rất nhiều bài tập chưa được giải. Bạn thử cố gắng giải cùng chúng tôi thay vì đăng 1 loạt bài tập về nhà lên đây nhé!
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
đố thêm bài này nữa nhé ^^
|
|
|
|
Nhắc lại hai bđt quen thuộc sau
$a^2+b^2 \ge \frac{1}{2}\left (a+b \right )^2$
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \ge \frac{4}{a+b}$
Áp dụng
Vế trái $\ge \frac{1}{2}\left (\sin^ 2x +\cos ^2x +\frac{1}{\sin^ 2x}+\frac{1}{\cos ^2x }\right )^2 \ge \frac{1}{2}\left (1+\frac{4}{\sin^ 2x+\cos ^2x}\right )^2=\frac{25}{2}$
Hiển nhiên vế phải $\le12+\frac{1}{2}=\frac{25}{2} $
Vậy PT $ \Leftrightarrow\begin{cases}\sin^ 2x =\cos ^2x \\ \sin y= 1\end{cases}$
Đến đây bạn tự giải tiếp nhé.
|
|
|
|
giải đáp
|
tính tổng
|
|
|
|
Với $x = \sin^2 \frac{k \pi}{100}$ thì $1-2x =\cos\frac{k \pi}{50}\Rightarrow f( \sin^2 \frac{k \pi}{100})=\frac{1}{1+2^{\cos\frac{k \pi}{50}}}$
Ta tính
$f( \sin^2 \frac{k \pi}{100})+f( \sin^2 \frac{(50-k) \pi}{100})=\frac{1}{1+2^{\cos\frac{k \pi}{50}}}+\frac{1}{1+2^{\cos\frac{(50-k) \pi}{50}}}$
$=\frac{1}{1+2^{\cos\frac{k \pi}{50}}}+\frac{1}{1+2^{\cos(\pi -\frac{k \pi}{50})}}=\frac{2+2^{\cos\frac{k \pi}{50}}+2^{\cos(\pi -\frac{k \pi}{50})}}{2+2^{\cos\frac{k \pi}{50}}+2^{\cos(\pi -\frac{k \pi}{50})}}=1$
Do đó $S=\sum_{k=1}^{24}(f( \sin^2 \frac{k \pi}{100})+f( \sin^2 \frac{(50-k) \pi}{100}))+f( \sin^2 \frac{25 \pi}{100})+f( \sin^2 \frac{50 \pi}{100})$
$=24+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{151}{6}$
|
|
|
|
sửa đổi
|
chứng minh bđt
|
|
|
|
$\left| {\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right|+\left| {\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}} \right|=\left| {\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}} \right|+\left| {\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{2}} \right|=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}$$=x+y=|x|+|y|$ với $xy \ge 0.$
$\left| {\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right|+\left| {\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}} \right|=\left| {\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}} \right|+\left| {\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{2}} \right|=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}$$=x+y\le|x|+|y|$ với $xy \ge 0.$
|
|
|
|
sửa đổi
|
chứng minh bđt
|
|
|
|
$\left| {\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right|+\left| {\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}} \right|=\left| {\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}} \right|+\left| {\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{2}} \right|=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2}$$=\sqrt{x}$
$\left| {\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right|+\left| {\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}} \right|=\left| {\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}} \right|+\left| {\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{2}} \right|=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}$$=x+y=|x|+|y|$ với $xy \ge 0.$
|
|
|
|
giải đáp
|
chứng minh bđt
|
|
|
|
$\left| {\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}} \right|+\left| {\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}} \right|=\left| {\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{2}} \right|+\left| {\frac{x+y-2\sqrt{xy}}{2}} \right|=\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2}{2}+\frac{(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2}{2}$
$=x+y\le|x|+|y|$ với $xy \ge 0.$
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
giải cho e bài này nhé, thầy e giải rồi nhưng e vẫn k hiểu lắm
|
|
|
|
Đặt $t=x^2$ thì PT đã cho trở thành $mt^2-(2m-1)t+m+1=0 (*)$
Để PT ban đầu có nghiệm thì cần PT (*) có nghiệm không âm, tức là
$\begin{cases}\Delta ' \ge 0 \\ S= \frac{2m-1}{m} \ge 0 \\P= \frac{m+1}{m} \ge 0\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}1-8m\ge 0 \\ S= \frac{2m-1}{m} \ge 0 \\P= \frac{m+1}{m} \ge 0\end{cases}\Leftrightarrow m \le -1$
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
giải đáp
|
tìm nguyên hàm
|
|
|
|
$f(x)=\frac{1+2x \sqrt{x^2+1}+2x^2 }{1+x+ \sqrt{x^2+1} } =\frac{1+2x \sqrt{x^2+1}+2x^2 }{1+x+ \sqrt{x^2+1} }$
$=\frac{(1+2x \sqrt{x^2+1}+2x^2 )(1+x-\sqrt{x^2+1})}{2x }$
$=\frac{1}{2}\left[ {\sqrt{x^2+1}+x+\frac{(x-1)(\sqrt{x^2+1}+x)}{\sqrt{x^2+1}}} \right]+\frac{x}{2\sqrt{x^2+1}(\sqrt{x^2+1}+1)}+\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}$
Do đó
$\int f(x)dx=\frac{1}{2}\left[ {(x-1)(\sqrt{x^2+1}+x)+\ln(\sqrt{x^2+1}+1)+\ln(\sqrt{x^2+1}+x)} \right]+C$
|
|
|
|
giải đáp
|
giải hệ pt
|
|
|
|
PT này của bạn vô nghiệm.
Từ PT thứ nhất có $y=1-x$ , thay vào PT thứ hai được
$f(x)=x^7+(1-x)^7+\frac{1}{27}=0 (*)$
Ta có $f'(x)=7x^6+7(x-1)^6$ và $f'(x)=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}$
Lập bảng biến thiên của hàm số này với nhận xét $ x=\frac{1}{2}$ là điểm cực tiểu và $\lim_{x \to \pm \infty}=+\infty$
Điều này có nghĩa là $f(x) \ge f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2^6}+\frac{1}{27}>0$ , vô lý với $(*)$. Vậy ta có đáp số như đã kết luận.
|
|
|
|
giải đáp
|
Tìm số chứa x trong khai triển.
|
|
|
|
Ta cần tìm hệ số của $x$ trong khai triển đa thức dưới dạng $a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_{99}x^{99}$.
Mặt khác theo khai triển Niu-tơn
$n(1+x)^{n-1}=n.\sum_{k=0}^{n-1}C_n^kx^k=\sum_{k=0}^{n-1}nC_n^kx^k$.
Như vậy, $a_{1}=2C_{2}^{1}+3C_{3}^{1}+\cdots+100C_{100}^{1}=2^2+3^2+\cdots+100^2=\sum_{i=1}^{100}i^2-1=338349$.
|
|