tứ diện

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ có các cạnh thỏa mãn hệ thức:

$AB^2+CD^2=AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.$
Chứng minh rằng trong bốn mặt của tứ diện phải có ít nhất một mặt là tam giác nhọn (có cả ba góc đều nhọn).

Đỗ Quang Chính · Answer 1 · 7/7/2012 9:58:11 AM

Ta sẽ chứng minh rằng trong bốn đỉnh

$A, B, C, D$ , nếu có một đỉnh nào mà tại đỉnh đó có một góc phẳng lớn hơn hoặc bằng

$90^\circ$ thì hai góc phẳng còn lại của đỉnh đó cũng lớn hơn hoặc bằng

$90^\circ$ .
Thật vậy, giả sử tại đỉnh

$A$ ta có

$\widehat{BAC}\geq 90^\circ$ . Khi đó:

$BC^2\geq AB^2+AC^2$ .

$(1)$
Theo giả thiết ta có:

$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2$

$(2)$

$AC^2+BD^2=AD^2+BC^2.$

$(3)$
Từ

$(1)$ và

$(2)$ ta được;

$BC^2+CD^2+AB^2\geq AB^2+AC^2+BC^2+AD^2,$
suy ra

$CD^2\geq AC^2+AD^2$ , do đó

$\widehat{CAD}\geq 90^0.$ Từ

$(1)$ và

$(3)$ ta cũng có:

$BC^2+BD^2+AC^2\geq AB^2+AC^2+BC^2+AD^2$ , suy ra

$BD^2\geq AB^2+AD^2,$
do đó

$\widehat{BAD}\geq 90^0$ . Vậy nhận xét trên đã được chứng minh.
Từ chứng minh trên, ta suy ra rằng tứ diện phải có ít nhất một mặt là tam giác nhọn. Thật vậy, nếu tam giác

$ABC$ không nhọn, chẳng hạn

$\widehat{BAC}\geq 90^\circ$ , thế thì theo chứng minh trên, cả ba góc phẳng tại đỉnh

$A$ đều lớn hơn hoặc bằng

$90^\circ$ , suy ra các tam giác

$ABC, ACD, ABD$ có hai góc còn lại đều nhọn.
Mặt khác, mệnh đề được chứng minh ở trên cũng có nghĩa rằng tại một đỉnh nào đó, nếu có hai góc phẳng nhọn thì góc phẳng còn lại cũng nhọn. Do đó, ta suy ra rằng tất cả các góc phẳng ở ba đỉnh

$B, C, D$ đều nhọn. Vậy tam giác

$(BCD)$ là tam giác nhọn, điều phải chứng minh.