|
 Ta
sẽ chứng minh rằng trong bốn đỉnh A,B,C,D, nếu có một đỉnh nào mà
tại đỉnh đó có một góc phẳng lớn hơn hoặc bằng 90∘ thì hai góc
phẳng còn lại của đỉnh đó cũng lớn hơn hoặc bằng 90∘. Thật vậy, giả sử tại đỉnh A ta có ^BAC≥90∘. Khi đó: BC2≥AB2+AC2. (1) Theo giả thiết ta có: AB2+CD2=AD2+BC2 (2) AC2+BD2=AD2+BC2. (3) Từ (1) và (2) ta được; BC2+CD2+AB2≥AB2+AC2+BC2+AD2, suy ra CD2≥AC2+AD2, do đó ^CAD≥900. Từ (1) và (3) ta cũng có: BC2+BD2+AC2≥AB2+AC2+BC2+AD2, suy ra BD2≥AB2+AD2, do đó ^BAD≥900. Vậy nhận xét trên đã được chứng minh. Từ
chứng minh trên, ta suy ra rằng tứ diện phải có ít nhất một mặt là tam
giác nhọn. Thật vậy, nếu tam giác ABC không nhọn, chẳng hạn
^BAC≥90∘, thế thì theo chứng minh trên, cả ba góc
phẳng tại đỉnh A đều lớn hơn hoặc bằng 90∘, suy ra các tam giác
ABC,ACD,ABD có hai góc còn lại đều nhọn. Mặt khác, mệnh đề được
chứng minh ở trên cũng có nghĩa rằng tại một đỉnh nào đó, nếu có hai góc
phẳng nhọn thì góc phẳng còn lại cũng nhọn. Do đó, ta suy ra rằng tất
cả các góc phẳng ở ba đỉnh B,C,D đều nhọn. Vậy tam giác (BCD) là
tam giác nhọn, điều phải chứng minh.
|
|
Trả lời 07-07-12 09:58 AM
|
|