|
|
Từ $|\frac{Z-i}{Z+3i}|=1\Leftrightarrow |Z-i|=|Z+3i|$
$\Leftrightarrow |(x+(y-1)i|=|x+(y+3)i|$, ở đây $Z=x+yi$
$\Leftrightarrow x^2+(y-3)^2=x^2+(y+3)^2\Leftrightarrow \begin{cases}x\in R \\ y=-1 \end{cases}$. Vậy $ Z=x-i$
Ta có: $Z+1=(x+1)-i (1)$
Vì $Z+1$ có một acgumen bằng $-\frac{\pi}{6}$ nên $Z+1$ có dạng:
$Z+1=r[\cos (-\frac{\pi}{6})+i\sin (-\frac{\pi}{6})]$ với $r>0=\frac{r}{2}(\sqrt{3}-i) (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $\begin{cases}x+1=\frac{r\sqrt{3}}{2} \\ -1=-\frac{r}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}r= 2\\ x=2\sqrt{3}-1 \end{cases}$.
Vậy $Z=2\sqrt{3}-1-i$ là số phức cần tìm.
|